WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого ${\displaystyle r>0}$ и любой ${\displaystyle r}$ -раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество ${\displaystyle S}$ этих целых чисел, такое что:

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1}$ ,

и максимальный элемент множества ${\displaystyle S}$ можно ограничить значением ${\displaystyle b^{r}}$ с некоторой константой ${\displaystyle b}$ , независимой от ${\displaystyle r}$ . Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы ${\displaystyle b}$ было не меньше числа ${\displaystyle e}$ .

Гипотеза доказана Эрнестом Крутом (англ. Ernest S. Croot, III) в 2003 году, установленная оценка ${\displaystyle b}$ очень велика — число должно быть не больше ${\displaystyle e^{167000}}$ . Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств ${\displaystyle C}$ гладких чисел в интервалах вида ${\displaystyle [X,X^{1+\delta }]}$ , где ${\displaystyle C}$ содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум ${\displaystyle 6r}$ . Таким образом, если целые числа ${\displaystyle r}$ -раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество ${\displaystyle C}$ , удовлетворяющее условию теоремы Крута.

Примечания

Ссылки

• Croot, Ernest S., III. Unit Fractions. — University of Georgia, Athens, 2000.
• Croot, Ernest S., III. On a coloring conjecture about unit fractions // Annals of Mathematics. — 2003. — Т. 157, вып. 2. — С. 545—556. — DOI:10.4007/annals.2003.157.545. — arXiv:math.NT/0311421.
• Пал Эрдёш, Рональд Л. Грэм. Old and new problems and results in combinatorial number theory // L’Enseignement Mathématique. — 1980. — Т. 28. — С. 30—44.
• Ernie Croot’s Webpage

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка.