WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}$

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры

Обобщения

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж^[en] высказали гипотезу, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$ , где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ — положительные целые числа, ${\displaystyle i={\overline {1,n}},j={\overline {1,m}}}$ , то ${\displaystyle m+n\geqslant k}$ .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$ , то ${\displaystyle n\geqslant k-1}$ .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$ , где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ , называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet^[6] и yoyo@home.

См. также

• Великая теорема Ферма
• Задача о четырёх кубах
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

Ссылки

• EulerNet
• Гипотеза Эйлера