WikiSort.ru - Не сортированное

Пусть имеется структура инцидентности ${\displaystyle C=(P,L,I)}$ , состоящая из точек ${\displaystyle P}$ , прямых ${\displaystyle L}$ и флагов ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$ . Говорят, что точка ${\displaystyle p}$ инцидентна прямой ${\displaystyle l}$ , если ${\displaystyle (p,l)\in I}$ . Структура называется конечной частичной геометрией, если существуют целые числа ${\displaystyle s,t,\alpha \geq 1}$ , такие, что:

• Для любой пары различных точек ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам.
• Каждая прямая инцидентна ${\displaystyle s+1}$ точкам.
• Каждая точка инцидентна ${\displaystyle t+1}$ прямым.
• Если точка ${\displaystyle p}$ и прямая ${\displaystyle l}$ не инцидентны, существует в точности ${\displaystyle \alpha }$ пар ${\displaystyle (q,m)\in I}$ , таких, что ${\displaystyle p}$ инцидентна ${\displaystyle m}$ , а ${\displaystyle q}$ инцидентна ${\displaystyle l}$ .

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ .

Свойства

• Число точек задаётся формулой ${\displaystyle {\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$ , а число прямых — формулой ${\displaystyle {\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$ .
• Точечный граф^[1] структуры ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ является сильно регулярным графом: ${\displaystyle srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))}$ .
• Частичные геометрии двойственны — двойственной структурой для ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ является просто структура ${\displaystyle pg(t,s,\alpha )}$ .

Частные случаи

• Обобщённые четырёхугольники — это в точности частичные геометрии ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ с ${\displaystyle \alpha =1}$ .
• Системы Штейнера — это в точности частичные геометрии ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ с ${\displaystyle \alpha =s+1}$ .

Обобщения

Частично линейное пространство^[en] ${\displaystyle S=(P,L,I)}$ порядка ${\displaystyle s,t}$ называется получастичной геометрией, если существуют целые числа ${\displaystyle \alpha \geq 1,\mu }$ , такие, что:

• Если точка ${\displaystyle p}$ и прямая ${\displaystyle \ell }$ не инцидентны, существует либо ${\displaystyle 0}$ , либо в точности ${\displaystyle \alpha }$ пар ${\displaystyle (q,m)\in I}$ , таких, что ${\displaystyle p}$ инцидентна ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle q}$ инцидентна ${\displaystyle \ell }$ .
• Любая пара неколлинеарных точек имеет в точности ${\displaystyle \mu }$ общих соседей.

Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mu =\alpha (t+1)}$ .

Легко показать, что граф коллинеарности^[1] такой геометрии строго регулярен с параметрами ${\displaystyle (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )}$ .

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки ${\displaystyle PG(3,q^{2})}$ и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра. Геометрия имеет параметры ${\displaystyle (s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))}$ .

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.