WikiSort.ru - Не сортированное

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Предложенa Громовым в 1983 году. Он использовал филинг-радиус в доказательстве систолического неравенства^[en] для существенных многообразий.

Кривые на плоскости

Филинг-радиус (${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$ ) замкнутой кривой C на плоскости определяется как наибольший радиус ${\displaystyle R>0}$ круга, который содержится внутри кривой.

Филинг-радиус кривой C можно также определить как точную нижнюю грань из ${\displaystyle \varepsilon >0}$ таких, что кривая C стягивается в точку в своей ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестности.

Определение

Обозначим через A кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ или ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ , в зависимости от того, является ли Х ориентируемым или нет.

Тогда фундаментальный класс, обозначамый [X], компактного n-мерного многообразия X, является образующей группы гомологии ${\displaystyle H_{n}(X;A)\simeq A}$ , и мы полагаем

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X\subset E)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon }X)\right\},}$

где ${\displaystyle \iota _{\varepsilon }}$ обозначает вложение Куратовского Х в пространство ограниченных функций на Х.

Свойства

• Филинг-радиус не превосходит трети диаметра (Кац, 1983).
• Филинг-радиус вещественного проективного пространства с метрикой постоянной кривизны равен трети своего диаметра, см (Кац, 1983).
  • Эквивалентно, филинг-радиус равен шестой части систоли вещественного проективного пространства с метрикой постоянной кривизны.
• В частности, филинг-радиус единичной окружности с индуцированной Римановой метрикой равен π/3, то есть одной шестой её длины. (Громов, 1983)
• Систоль существенного многообразия не превышает шести его филинг-радиусов (Громов, 1983).
  • Это неравенство становится равенством для вещественных проективных пространств, как указано выше.
• Радиус инъективности компактного многообразия M даёт нижнюю границу на филинг-радиус. А именно,

  ${\displaystyle \mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{2(\dim M+2)}}.}$

Литература

• Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
• Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505—511.
• Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, vol. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978