Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу», англ. Arrow’s paradox) — теорема «о невозможности демократии» как «коллективного выбораruen», иначе называют «теоремой о неизбежности диктатора». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году.[1] Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.
Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.
В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.[2][3]
Пусть есть N ≥ 2 избирателей, голосующих за n ≥ 3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов — функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список.
Система выборов может обладать такими свойствами:
|
В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.
|
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. |
Введем следующие обозначения:
Дадим формальные определения:
Доказательство проведем в 4 этапа.
Возьмем произвольный профиль такой, что в нём для всех агентов исход расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений . Теперь допустим, что наше утверждение неверно, то есть существуют такие , что и . Изменим тогда профиль так, чтобы для всех агентов выполнялось , не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль . Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле и . Следовательно, в силу транзитивности получаем . Но мы предположили, что для всех агентов , тогда в силу Парето-эффективности должно быть . Полученное противоречие доказывает утверждение.
Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход в самом низу своего списка предпочтений . Ясно, что и в исход находится на самой нижней позиции (в силу Парето-эффективности). Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Когда все агенты поставят исход первым в своём списке предпочтений, он будет первым и для . Таким образом, в какой-то момент изменится. Пусть — агент, который, переставив таким образом , изменил (в первый раз). Обозначим — профиль предпочтений как раз до того, как переместил , а — профиль предпочтений сразу же после того, как переместил . Таким образом, в исход изменил свою позицию в , при этом для всех агентов находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции . Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в исход занимает самую верхнюю позицию.
Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля построим следующим образом: в , переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом и . Тогда, как и в получим, что (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в получим, что . Тогда . Теперь построим профиль предпочтений следующим образом: для всех агентов поместим исход на произвольную позицию в списке предпочтений , для агента поместим исход в произвольную позицию до исхода . Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив . Мы получили, что все агенты, кроме имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат получился исходя только лишь из предположения, что .
Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, . Если бы агент был дикатором над , никакая замена предпочтений агента не могла бы поменять ранжирование и в . Но на Этапе 2 агент переставил с последнего места на первое в , и таким образом был обязан поменять местами и . Следовательно, можно заключить, что совпадает с , то есть и есть диктатор.
Доказательство завершено.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .