WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) уравнения Гамильтона — Якоби.

Формулировка

Если в голономной системе с ${\displaystyle s}$ степенями свободы кинетическая энергия ${\displaystyle T}$ имеет вид ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}^{2}}$ и потенциальная энергия ${\displaystyle \Pi }$ имеет вид ${\displaystyle \Pi ={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})}$ , где ${\displaystyle f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m})}$ , то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них).^[1]

Доказательство

Функция Гамильтона для условий теоремы имеет вид: ${\displaystyle H=T+\Pi ={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}^{2}+{\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})=h}$ . Обобщенные импульсы равны ${\displaystyle p_{m}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}=fA_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}}$ . С учётом этого функция Гамильтона: ${\displaystyle H={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {p_{m}^{2}}{2A_{m}(q_{m})}}+\Pi _{m}(q_{m})\right]=h}$ . Произведем замену ${\displaystyle p_{m}={\frac {\partial W}{\partial q_{m}}}}$ . Уравнение Гамильтона - Якоби примет вид^[2]: ${\displaystyle \sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0}$ . Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде: ${\displaystyle W=W_{1}(q_{1})+W_{2}(q_{2})+...+W_{s}(q_{s})}$ . Уравнение Гамильтона - Якоби примет вид:

$${\displaystyle \sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0\qquad (1)}$$

Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты ${\displaystyle q_{m}}$ , поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине: ${\displaystyle {\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})=\alpha _{m}}$ , причем должно выполняться условие ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{s}=0}$ . Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре: ${\displaystyle W_{m}=\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}}$ . Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби равен: ${\displaystyle W=\sum _{m=1}^{s}\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}}$ Этот интеграл содержит ${\displaystyle s}$ произвольных постоянных ${\displaystyle h,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s-1}}$ и постоянную ${\displaystyle \alpha _{s}=-(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{s-1})}$ ^[3]

Примечания

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.