WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году^[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Формулировка

Для начала, введём несколько определений.

Пусть ${\displaystyle A=(a_{ij})}$  — матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ , и пусть выбраны любые ${\displaystyle k}$ строк матрицы ${\displaystyle A}$ с номерами ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}$ и любые ${\displaystyle k}$ столбцов с номерами ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}}$ .

Определитель матрицы, получаемой из ${\displaystyle A}$ вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором ${\displaystyle k}$ -го порядка, расположенным в строках с номерами ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}$ и столбцах с номерами ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ . Он обозначается следующим образом:

${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.}$

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору ${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$ :

${\displaystyle {\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},}$

где ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n}}$ и ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n}}$  — номера невыбранных строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение минора ${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}}$

где ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k}}$ , ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k}}$ .

Справедливо следующее утверждение.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать ${\displaystyle k}$ столбцов из ${\displaystyle n}$ , то есть биномиальному коэффициенту ${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$ .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть ${\displaystyle A=(a_{ij})}$  — квадратная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ . Пусть также задан некоторый номер строки ${\displaystyle i}$ либо номер столбца ${\displaystyle j}$ матрицы ${\displaystyle A}$ . Тогда определитель ${\displaystyle A}$ может быть вычислен по следующим формулам:

где ${\displaystyle A_{ij}}$  — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером ${\displaystyle i}$ и столбце с номером ${\displaystyle j}$ . ${\displaystyle A_{ij}}$ также называют алгебраическим дополнением к элементу ${\displaystyle a_{ij}}$ .

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить ${\displaystyle k}$ равным 1 и выбрать ${\displaystyle i}$ -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-й строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-й строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-й, такие же, как у матрицы А, а элементами i-й строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-й строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0. С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-й строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-й строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-й строки матрицы А. Но элементами i-й строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-й строки матрицы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-й строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-й строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-й строки матрицы А.

Примечания

Литература

• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — С. 25-27. — ISBN 5-9221-0481-0.
• Прасолов, В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — 2-е изд. — М., 2008. — С. 42-45.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — С. 374-376.