WikiSort.ru - Не сортированное

Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Построение

Пусть ${\displaystyle X}$ — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности ${\displaystyle k}$ — это пара ${\displaystyle (\Delta ^{k},f)}$ где ${\displaystyle \Delta ^{k}}$ — это стандартный симплекс ${\displaystyle \langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle }$ , а ${\displaystyle f}$ — его непрерывное отображение в ${\displaystyle X}$ ; ${\displaystyle f:\Delta ^{k}\to X}$ .

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})}$ с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами ${\displaystyle z_{i}}$ .

При этом для линейного отображения ${\displaystyle s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta ^{k}}$ , определяемого перестановкой ${\displaystyle \pi }$ точек ${\displaystyle (a_{0},a_{1},...~a_{k})}$ , полагают ${\displaystyle (\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })}$ .

Граничный оператор ${\displaystyle \partial }$ определяется на сингулярном симплексе ${\displaystyle (\Delta _{k},f)}$ так:

${\displaystyle \partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})}$ ,

где ${\displaystyle \Delta _{k-1}}$ стандартный ${\displaystyle (k-1)}$ -мерный симплекс, а ${\displaystyle f_{i}=f\circ \epsilon _{i}}$ , где ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ — это его отображение на ${\displaystyle i}$ -ю грань стандартного симплекса ${\displaystyle \Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )}$ .

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что ${\displaystyle \partial \partial =0}$ .

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей ${\displaystyle c_{k}}$ , что ${\displaystyle \partial {c_{k}}=0}$ , и границ — цепей ${\displaystyle c_{k}=\partial {c_{k+1}}}$ для некоторого ${\displaystyle c_{k+1}}$ .

Факторгруппа группы циклов по группе границ ${\displaystyle H_{k}=Z_{k}/B_{k}}$ называется группой сингулярных гомологий.