WikiSort.ru - Не сортированное

Свойства

• Объём ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ совпадает с объёмом ${\displaystyle \Phi }$ .

• Площадь поверхности ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ не превосходит площади поверхности ${\displaystyle \Phi }$ .
  • Если ${\displaystyle \Phi }$ выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ и ${\displaystyle \Phi }$ достигается только в случае если ${\displaystyle \Phi }$ зеркально симметрична относительно гиперплоскости параллельной плоскости симметризации.
  • В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных ${\displaystyle \Phi }$ , например равенство достигается для плоских фигур составленных из двух прямоугольников с основаниями параллельными прямой симметризации.

• Если ${\displaystyle \Phi }$ выпукла, то тоже верно и для ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ .

• Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть

  ${\displaystyle d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),}$

где ${\displaystyle \Phi }$ и ${\displaystyle \Psi }$ — произвольные фигуры, ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ и ${\displaystyle \Psi ^{*}}$ — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а ${\displaystyle d_{H}}$ — метрика Хаусдорфа.

• Если ${\displaystyle \Phi \subset \Psi }$ , то ${\displaystyle \Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}}$ .