WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Символ оператора — функция, ассоциированная с оператором и отражающая те или иные его свойства. Как правило символы задаются для операторов, принадлежащих некоторой алгебре. В таком случае отображение из элементов алгебры в их символы является линейным, то есть при сложении операторов и их умножении на число соответствующие символы также складываются и умножаются на то же число. При умножении операторов их символы обычно умножаются с точностью до членов, считающихся в определённом смысле младшими. Символ оператора часто является числовой функцией числовых переменных, но бывает и что он принимает значения в некоторой алгебре, более простой чем исходная.

Функции операторов, упорядоченных фейнмановскими номерами

Понятие символа оператора тесно связано с задачей введения функций от операторов, в некотором смысле аналогичных заданным функциям вещественных или комплексных переменных. В случае полиномов такая аналогия очевидна, нужно просто подставить в них операторы вместо переменных. Однако, операторы в общем случае не коммутируют и необходимо задать порядок их действия, что можно сделать с помощью фейнмановских номеров, например:

({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2},

означает, что оператор $A$ действует первый, а оператор $B$ вторым, то есть

({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2}={\overset {1}{A^{2}}}+2{\overset {1}{A}}{\overset {2}{B}}+{\overset {2}{B^{2}}}=A^{2}+2BA+B^{2}.

Пространство полиномиальных символов

Пусть задана операторная алгебра $\mathbb {A}$

A_{1},\dots ,A_{n}\in \mathbb {A} ,\quad n\in \mathbb {N} .

$\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]$ — множество многочленов от $n$ переменных. Пусть определено отображение

\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}:\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\rightarrow \mathbb {A} ,

которое сопоставляет многочлену $f\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]$ :

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}x_{1}^{\alpha _{1}}\dots x_{n}^{\alpha _{n}}

оператор

f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f)=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}A_{n}^{\alpha _{n}}\dots A_{1}^{\alpha _{1}}.

Функция $f$ называется символом оператора $\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f).$

Общее определение

Пусть ${\mathcal {F}}_{n}$ — некоторый класс функций от переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$ , содержащий полиномы $\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\subseteq {\mathcal {F}}_{n}$ . Пусть задано отображение

\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}:{\mathcal {F}}_{n}\rightarrow \mathbb {A}

Со следующими свойствами:

Отображение $\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}$ линейно.
$\mu _{A}$ гомоморфизм алгебр с единицей, причём если $f(x)=x$ , то $\mu _{A}(f)=A$ .
Если $f(x_{1},\dots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\dots f_{n}(x_{n})$ , то $\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{A_{n}}(f_{n})\dots \mu _{A_{1}}(f_{1}).$
$\forall f\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\quad \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f).$

Функция $f$ называется символом оператора $f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f).$

Литература

Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973
Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа, М.: Техносфера, 2002
Символ оператора — статья из Математической энциклопедии. М. А. Шубин

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии