WikiSort.ru - Не сортированное

Силлогистика (др.-греч. συλλογιστικός умозаключающий) — теория логического вывода, исследующая умозаключения, состоящие из т. н. категорических высказываний (суждений). В силлогистике рассматриваются, например, выводы заключения из одной посылки (т. н. непосредственные умозаключения), «сложные силлогизмы», или полисиллогизмы, имеющие не менее трёх посылок. Однако основное внимание силлогистика уделяет теории категорического силлогизма, имеющего ровно две посылки и одно заключение указанного вида. Классификацию различных форм (модусов) силлогизмов и их обоснование дал основатель логики как науки Аристотель. В дальнейшем силлогистика усовершенствовалась различными школами античных (перипатетики, стоики) и средневековых логиков. Несмотря на ограниченный характер применения, отмечавшийся ещё Ф. Бэконом, Р. Декартом, Дж. С. Миллем и другими учёными, силлогистика долгое время являлась неотъемлемым традиционным элементом «классического» гуманитарного образования, из-за чего её часто называют традиционной логикой. С созданием исчислений математической логики роль силлогистики стала весьма скромной. Оказалось, в частности, что почти всё её содержание (а именно все выводы, не зависящие от характерного для силлогистики предположения о непустоте предметной области) может быть получено средствами фрагмента исчисления предикатов — т. н. одноместного исчисления предикатов. Получен также (начиная с Я. Лукасевича, 1939) ряд аксиоматических изложений силлогистики в терминах современной математической логики.

Типы суждений

Высказывание, в котором утверждается, что все предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется общим (соответственно общеутвердительным или общеотрицательным). Высказывание, в котором утверждается, что некоторые предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется частным (соответственно частноутвердительным или частноотрицательным). По Аристотелю, все простые высказывания делятся на следующие шесть типов: единичноутвердительные, единичноотрицательные, общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные.

Типы простых высказываний, относящихся к классам предметов, обозначаются гласными буквами латинского алфавита: A — общеутвердительные, E — общеотрицательные, I — частноутвердительные, O — частноотрицательные. Далее класс предметов обозначается буквой S, свойство — буквой P. При этом S называется субъектом, а P — предикатом. Эти четыре типа простых высказываний, имеют следующую общелогическую форму:

A (общеутвердительное суждение): "Все предметы класса S обладают свойством P". ("Все S суть P".) Символически: SaP;

E (общеотрицательное суждение): "Ни один предмет класса S не обладает свойством P". ("Ни один S не есть P".) Символически: SeP;

I (частноутвердительное суждение): "Некоторые предметы класса S обладают свойством P". ("Некоторые S суть P".) Символически: SiP;

O (частноотрицательное суждение): "Некоторые предметы класса S не обладают свойством P". ("Некоторые S не суть P".) Символически: SoP.

Все эти суждения на языке логики предикатов имеют вид:

${\displaystyle A\colon (\forall x){\bigl (}S(x)\to P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle E\colon (\forall x){\bigl (}S(x)\to \lnot P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle I\colon (\exists x){\bigl (}S(x)\land P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle O\colon (\exists x){\bigl (}S(x)\land \lnot P(x){\bigr )}.}$

Эти же формулы можно равносильно преобразовать следующим образом:

${\displaystyle A\colon \lnot (\exists x){\bigl (}S(x)\land \lnot P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle E\colon \lnot (\exists x){\bigl (}S(x)\land P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle I\colon \lnot (\forall x){\bigl (}S(x)\to \lnot P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle O\colon \lnot (\forall x){\bigl (}S(x)\to P(x){\bigr )}.}$

Силлогистические умозаключения

Аристотель выделяет важнейший вид дедуктивных умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трех простых высказываний S,M,P одного из четырех указанных видов A,E,I,O: два первых высказывания S,M — посылки, третье P — заключение. В результате, возможно всего 4 типа силлогизмов:

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}{\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure I}}\\[2pt]MxP\\SyM\end{matrix}}{SzP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure II}}\\[2pt]PxM\\SyM\end{matrix}}{SzP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure III}}\\[2pt]MxP\\MyS\end{matrix}}{SzP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure IV}}\\[2pt]PxM\\MyS\end{matrix}}{SzP}}\end{array}}}$

Здесь ${\displaystyle x,y,z\in \{a,e,i,o\}}$ и запись SzP (как и MxP и SyM и т. п.) обозначает в зависимости от значения z одно из четырех суждений видов A,E,I,O. Каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): ${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=64}$ . Поскольку фигур 4, то получаем ${\displaystyle 4\cdot 64=256}$ силлогизмов.

Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.

Для запоминания правильных силлогизмов средневековыми схоластами было придумано следующее мнемотехническое латинское стихотворение:

BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO que prioris;

CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO sedundae;

Tertia DARAPTI*, DISAMIS, DATISI, FELAPTON*, BOCARDO, FERISON habet; quarta insuper addit

BAMALIP*, CAMENES, DIMATIS, FESAPO*, FRESISON.

Здесь слова, выделенные большими буквами, а точнее, гласные в этих словах, означают суждения A,E,I,O, подставляемые на место x,y,z в каждой фигуре силлогизма (слова в первой строке стиха соответствуют первой фигуре, второй строке -второй и т.д.) То есть для первой фигуры будут верны варианты силлогизмов (т.н.модусы) первой строки BARBARA (AAA), CELARENT (EAE), DARII (AII), FERIO (EIO):

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}{\dfrac {\begin{matrix}{\text{BARBARA}}\\[2pt]MAP\\SAM\end{matrix}}{SAP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{CELARENT}}\\[2pt]MEP\\SAM\end{matrix}}{SEP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{DARII}}\\[2pt]MAP\\SIM\end{matrix}}{SIP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{FERIO}}\\[2pt]MEP\\SIM\end{matrix}}{SOP}}\end{array}}}$

аналогично для других фигур силлогизма применяются модусы из строки стиха, соответствующей номеру фигуры.

При этом необходимо отметить, что в аристотелевской логике все классы M, P, S считаются непустыми, то есть имеющие хотя бы один элемент. Если это не учитывать, то получаются очевидные ошибки. Пример Рассела: Пусть M означает класс (пустой) "золотые горы", P - класс "золотые объекты", а S - класс "горы" Тогда имеем по модусу DARAPTI третьей фигуры:

Все золотые горы - золотые.

Все золотые горы - горы. -

Следовательно некоторые горы золотые.

Таким образом из двух верных (тавтологичных) утверждений мы получим отнюдь не тавтологичное, но заведомо неверное утверждение.

Так как в современной математике, физике и даже структурной лингвистике часто работают с пустыми множествами, то в этом случае нельзя применять модусы, выделенные у нас звездочками (DARAPTI, FELAPTON, BAMALIP, FESAPO)

Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики

Формализация теории аристотелевых силлогизмов

Описанная формализация придумана в 1950-х годах польским логиком Лукасевичем.

Пусть строчные латинские буквы a,b,c,... обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы A и I — два силлогических бинарных отношения: Aab: «Всякое a есть b», Iab: «Некоторое a есть b».

Понятие формулы дается посредством следующего индуктивного определения:

1) Aab и Iab — простые (или атомарные) формулы силлогистики;

2) если ${\displaystyle F,G}$ — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также ${\displaystyle (F\wedge G),(F\vee G),(F\to G),(\neg F)}$ ;

3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.

Формулировка аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, так что его аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения:

${\displaystyle (FS1)\colon Aaa;}$

${\displaystyle (FS2)\colon Iaa;}$

${\displaystyle (FS3)\colon (Abc\wedge Aab)\to Aac}$ (силлогизм Barbara);

${\displaystyle (FS4)\colon (Abc\wedge Iba)\to Iac}$ (силлогизм Datisi).

С помощью следующих определений введем еще два силлогических бинарных отношения E' и O: Eab означает ${\displaystyle \neg Iab}$ , Oab означает ${\displaystyle \neg Aab}$ .

В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики FS принимаются два правила подстановки и правило заключения modus ponens:

Литература

• Аристотель. Сочинения: В 4 т.. — М., 1976-1981.
• Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля.. — М., 1960.
• Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. — Academia, 2008.
• Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения формальной логики: Пер. с англ.. — М., 1959.

См. также

• Категорический силлогизм

Ссылки

• Радлов Э. Л. Силлогизм // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 21 июня 2018 года.