WikiSort.ru - Не сортированное

Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество ${\displaystyle A}$ абелевой группы ${\displaystyle G}$ является свободным от сумм, если сумма ${\displaystyle A\oplus A}$ не пересекается с ${\displaystyle A}$ . Другими словами, ${\displaystyle A}$ является свободным от сумм, если уравнение ${\displaystyle a+b=c}$ не имеет решения для ${\displaystyle a,b,c\in A}$ .

Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество ${\displaystyle \{N/2+1,\dots ,N\}}$ образует свободное от сумм подмножество множества ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$ (для чётного ${\displaystyle N}$ ).

Великая теорема Ферма утверждает, что множество ненулевых ${\displaystyle n}$ -х степеней является свободным от целых подмножеством целых чисел для ${\displaystyle n>2}$ .

Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам:

• Сколько свободных от сумм подмножеств множества ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$ существует для заданного ${\displaystyle N}$ ? Бен Грин^[1] и Александр Сапоженко^[2] показали, что ответ — ${\displaystyle O(2^{N/2})}$ , как было предположено в в гипотезе Кэмерона — Эрдёша^[3][4].
• Сколько свободных от сумм подмножеств содержит абелева группа ${\displaystyle G}$ ?^[5]
• Какова величина наибольшего свободного от сумм подмножества, содержащегося в абелевой группе ${\displaystyle G}$ ?^[5]

Свободное от сумм множество называется максимальным, если нет содержащего его большего свободного от сумм множества.

Ссылки