WikiSort.ru - Не сортированное

Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
${\displaystyle \Delta _{2n}\approx \Theta |I_{2n}-I_{n}|}$ , для формул прямоугольников и трапеций ${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{3}}}$ , а для формулы Симпсона ${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{15}}}$ .^[2]

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов ${\displaystyle N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\dots }$ , где n₀ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие ${\displaystyle \Delta _{2n}<\epsilon }$ , где ε — заданная точность.

Оценка точности численного решения ОДУ

Также применяется для оценки точности решений обыкновенных дифференциальных уравнений на регулярных сетках. Для оценки требуется решить задачу на 2 сетках, один раз с шагом h (${\displaystyle y_{i,h}}$ ) и второй — с шагом h/2 (${\displaystyle y_{i,h/2}}$ ). Формула^[3]

${\displaystyle {|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \over {2^{p}-1}}$

дает погрешность решения ${\displaystyle y_{i,h/2}}$ . Под ${\displaystyle p}$ понимается порядок точности использованного численного метода. Например, для численного метода, имеющего четвёртый порядок точности, формула принимает вид:

${\displaystyle {1 \over 15}|y_{i,h}-y_{i,h/2}|}$