WikiSort.ru - Не сортированное

Геометрия кручения

Если нематический жидкий кристалл, ограниченный двумя параллельными пластинами, которые ориентируют директор параллельно пластинам, помещается в достаточно сильное постоянное электрическое поле, то директор будет искажаться. Если при нулевом поле директор направлен вдоль оси x, то при приложении электрического поля вдоль оси y, он будет описываться формулами:

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =n_{x}\mathbf {\hat {x}} +n_{y}\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle n_{x}=\cos {\theta (z)}}$

${\displaystyle n_{y}=\sin {\theta (z)}}$ .

При этих условиях плотность свободной энергии Франка записывается в виде:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}}$

Полная энергия искажения и электрического поля на единицу объема:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }}$

Тогда свободная энергия на единицу площади:

${\displaystyle F_{A}=\int _{0}^{d}{\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }\,dz}$

Минимизируя её, получаем:

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)-{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\partial U}{\partial \left({\frac {d\theta }{dz}}\right)}}\right)=0}$

${\displaystyle K_{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}\right)+\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

Переписывая через ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{d}}}$ и ${\displaystyle \xi _{d}=d^{-1}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}}}}}$ где ${\displaystyle d}$ расстояние между двумя пластинами, получаем:

${\displaystyle \xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

Умножая обе стороны дифференциального уравнения на ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}}$ , упрощаем это уравнение:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+{\frac {d\theta }{d\zeta }}\sin {\theta }\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)\,d\zeta \,=0}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {1}{\xi _{d}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\theta _{m}}-\sin ^{2}{\theta }}}}$

Величина ${\displaystyle \theta _{m}}$  — значение ${\displaystyle \theta }$ при ${\displaystyle \zeta =1/2}$ . Вводим ${\displaystyle k=\sin {\theta _{m}}}$ и ${\displaystyle t={\frac {\sin {\theta }}{\sin {\theta _{m}}}}}$ и интегрируем по ${\displaystyle t}$ от 0 до 1:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,dt\,\equiv K(k)={\frac {1}{2\xi _{d}}}}$

Величина K(k) есть полный эллиптический интеграл первого рода. Учитывая, что ${\displaystyle K(0)={\frac {\pi }{2}}}$ получаем пороговое значение поля ${\displaystyle E_{t}}$ .

${\displaystyle E_{t}={\frac {\pi }{d}}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}}}}}$