WikiSort.ru - Не сортированное

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса $m$ , коэффициент упругости $k$ и коэффициент затухания $\beta$ . Если эти коэффициенты зависят от времени, и $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$ , то уравнение движения имеет вид

{\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,

$(1)$

Сделаем замену переменной времени $t$ → $\tau$ , где $d\tau =dt/m(t)$ , что приводит уравнение (1) к виду

{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,

$(2)$

Сделаем еще одну замену $x(\tau )$ → $q(\tau )$ :

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )=km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(4)$

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

$(5)$

которое получилось бы из уравнения (1) при $m=const$ .

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}$ , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости $\omega (t)$ уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости $\omega (t)$ — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

1. Рассмотрим случай, когда $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(6)$

Где $\omega _{0}$ — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты $h\ll 1$ , постоянная $\varepsilon \ll \omega _{0}$ — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что $h>0$ . Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра $\varepsilon$ , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение $x(t)$ неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},

$(7)$

2. Рассмотрим случай, когда $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(8)$

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой $y=2\omega _{0}+\varepsilon$ . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов $h^{2}$ , происходит в случае, когда

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac {1}{32}}h+{\frac {1}{2}},

$(9)$

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]\phi =0,

$(10)$

где $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}$ , и $h={\frac {4a}{l}}$ . В случае, когда $a\ll l$ и ограничиваясь первым порядком разложения по $h$ , получим, что

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}},

$(11)$

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний $\omega =\omega _{0}$ и её удвоенного значения $\omega =2\omega _{0}$ , — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(12)$

Параметрический резонанс имеет место, когда

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

$(13)$

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника $\omega _{0}$ , а ширина резонанса равна $h\omega _{0}$ . Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(14)$

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых $h\ll 1$ , а лишь при тех $h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$ . Т.о., при наличии трения

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

,

$(15)$

что позволяет надлежащим выбором параметров $\gamma$ , $\omega _{0}$ , и $h$ , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки

Пример параметрической неустойчивости

Броуновский параметрический осциллятор

Литература

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии