WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга ${\displaystyle \Delta }$ или верхней полуплоскости ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{+}}$ ) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.

Теорема

Предположим, что ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} }$  — некоторый ${\displaystyle n}$ -угольник, а функция ${\displaystyle f}$ осуществляет конформное отображение ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{+}}$ на ${\displaystyle P}$ . Тогда ${\displaystyle f}$ можно представить в виде

${\displaystyle f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _{k}-1}d\zeta +C_{2}}$ ,

где ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$  — прообразы вершин ${\displaystyle P}$ на вещественной оси, ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$  — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на ${\displaystyle \pi }$ (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$  — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если ${\displaystyle n}$ -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

${\displaystyle f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\alpha _{k}-1}d\zeta +C_{2}}$ ,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда внутри интеграл Шварца-Кристоффеля

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011 года.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.