WikiSort.ru - Не сортированное

Нахождение стационарной позиции системы

Для стационарной позиции ${\displaystyle {\bar {x}}>0,{\bar {y}}>0}$ изменение численности популяции равно нулю. Следовательно:

${\displaystyle \alpha {\bar {x}}-\beta {\bar {x}}{\bar {y}}=0}$ ,

${\displaystyle -\gamma {\bar {y}}+\delta {\bar {x}}{\bar {y}}=0}$ ,

из чего следует, что стационарная точка системы, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\gamma }{\delta }}}$ ,

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {\alpha }{\beta }}}$ .

Задание отклонения в системе

При внесении в систему колебаний ${\displaystyle {\tilde {x}}\ll {\bar {x}}}$ и ${\displaystyle {\tilde {y}}\ll {\bar {y}}}$ , из-за малой их величины их квадратами, кубами и последующими степенями (${\displaystyle {\tilde {x}}^{n}}$ ) можно пренебречь. Таким образом, популяции ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ с малыми отклонениями описываются следующими выражениями:

${\displaystyle x={\bar {x}}+{\tilde {x}}}$ ,

${\displaystyle y={\bar {y}}+{\tilde {y}}}$ .

Применяя их к уравнениям модели, следует:

${\displaystyle {\frac {d{\tilde {x}}}{dt}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\frac {d{\tilde {y}}}{dt}}={\frac {\delta \alpha }{\beta }}{\tilde {x}}}$

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\frac {\delta \alpha }{\beta }}{\tilde {x}}=-\alpha \gamma {\tilde {x}}}$ ,

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}+\alpha \gamma {\tilde {x}}=0}$ .

Полученное выражение является пропорциональным уравнением гармонического осциллятора с периодом ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\sqrt {\alpha \gamma }}}}$ .