WikiSort.ru - Не сортированное

Метод Куммера — в теории числовых рядов способ, позволяющий заменить заданный ряд другим, сходящимся быстрее, предложен Э. Куммером.

Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд ${\displaystyle a_{k}}$ и требуется найти его сумму с заданной точностью. Для увеличения скорости сходимости этого ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд ${\displaystyle b_{k}}$ с известной суммой такой, чтобы разность

${\displaystyle c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty }$

В этом случае величину ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ можно представить в виде суммы ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}$ где ряд ${\displaystyle c_{k}}$ сходится быстрее, чем исходный ряд, а сумма ряда ${\displaystyle b_{k}}$  — известна. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда ${\displaystyle c_{k}}$ .

Например, для повышения скорости сходимости ряда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}}$

можно воспользоваться рядом

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}\right)=1}$ ,

сумма которого известна, и записать

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}(k+1)}}}$ .

Преобразование Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого места. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, п. 415.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Викифицировать статью.