WikiSort.ru - Не сортированное

Критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы для нелинейностей, лежащих в секторе. Даёт возможность установить абсолютную устойчивость в целом.

Формулировка критерия

Пусть линейная часть задана передаточной функцией ${\displaystyle W(s)}$ , нелинейная часть находится в секторе ${\displaystyle kx}$ . Пусть можно найти такое число ${\displaystyle q}$ , чтобы выполнялось частотное неравенство

${\displaystyle \Re ((1+jq\omega )W(j\omega ))+1/k>0}$

Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и тогда ${\displaystyle x(t)\to {\mathcal {1}}}$ при ${\displaystyle t\to {\mathcal {1}}}$ . Распишем условие

${\displaystyle \Re ((1+jq\omega )W(j\omega ))=\Re ((1+jq\omega )(\Re W+j\Im W))=\Re (\Re W+j\Im W+jq\omega \Re W-q\omega \Im W)=\Re W-q\omega \Im W}$

Вводят модифицированную АФЧХ (модифицированный годограф)^[1]

${\displaystyle {\tilde {W}}(j\omega )=\Re (W(j\omega ))+j\omega \Im (W(j\omega ))}$

Тогда условие примет вид

${\displaystyle \Re ({\tilde {W}}(j\omega ))+1/k>q\Im {\tilde {W}}(j\omega )}$

Данное условие означает, что модифицированный годограф должен находиться правее прямой, проходящей через точку ${\displaystyle (-1/k,j0)}$ с угловым коэффициентом ${\displaystyle q}$ на комплексной плоскости.

Примечания

1. ↑ Отличие модифицированного годографа - мнимая часть домножена на ${\displaystyle \omega }$