WikiSort.ru - Не сортированное

Интеграл Виноградова — кратный интеграл вида

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}\left|S\right|^{2k}d\alpha _{1}d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},}$

где

${\displaystyle S=\sum _{1\leqslant x\leqslant P}{e^{2\pi i(\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\ldots +\alpha _{n}x^{n})}},}$

являющийся средним значением степени 2k модуля тригонометрической суммы. Теорема Виноградова (англ. Vinogradov's mean-value theorem) о величине этого интеграла — теорема о среднем — лежит в основе оценок сумм Вейля. Интеграл применяется при решении проблем аналитической теории чисел^[1].

Значение интеграла Виноградова соответствует числу решений следующей системы уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k}\\x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}=y_{1}^{2}+\ldots +y_{k}^{2}\\\cdots \\x_{1}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}\end{cases}}}$

где неизвестные ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{k}}$ могу принимать целые значения от 1 до ${\displaystyle P,P\geqslant 1}$ ^[1][2].

Примечания

Литература

• Архипов Г. И., Карацуба А. А. Новая оценка интеграла И. М. Виноградова. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978, 42, с. 751-762.
• Виноградова интеграл // Математическая энциклопедия. Т. 1. Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия». — 1977.
• Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.