WikiSort.ru - Не сортированное

Математическая формулировка

Обозначим ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ как события, означающие, что соответствующий заключённый будет помилован, и ${\displaystyle b}$ событие, означающее, что охранник назовёт имя B. Тогда, используя теорему Байеса вероятность помилования заключённого A:

${\displaystyle P(A\mid b)={\frac {P(b\mid A)P(A)}{P(b\mid A)P(A)+P(b\mid B)P(B)+P(b\mid C)P(C)}}=}$

${\displaystyle ={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Список возможных случаев

Могут возникнуть следующие случаи:

1. A помилован, и стражник объявляет, что B будет казнён: 1/3×1/2=1/6 от всех случаев
2. A помилован, и стражник объявляет, что C будет казнён: 1/3×1/2=1/6 от всех случаев
3. B помилован, и стражник объявляет, что C будет казнён: 1/3 от всех случаев
4. C помилован, и стражник объявляет, что B будет казнён: 1/3 от всех случаев

С оговоркой, что в ситуации когда А помилован (вероятность такой ситуации 1/3) стражник случайно выбирает имя казнённого, получается шанс 1/2, что он скажет «B» и 1/2 что он скажет «C». Это означает что вероятности: 1/6 в то время как (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет B]), стражник называет B, потому что A помилован, и (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет C]) стражник называет C, потому что A помилован. Всего это составляет 1/3 от всех случаев (1/6 + 1/6) когда А помилован.

Теперь ясно, что стражник отвечает «Казнён будет B» на вопрос заключённого А (это случаи 1 и 4) в 1/2 от всех случаев; 1/3 — вероятность того, что С помилован, но A всё равно будет казнён (случай 4); и только 1/6 — вероятность того, что A помилован (случай 1). Следовательно, шансы С: (1/3)/(1/2)=2/3, шансы A: (1/6)/(1/2)=1/3.

Основной загвоздкой здесь является то, что стражник не может говорить имя того, кто будет помилован. Если исключить это условие, исходную задачу можно переформулировать так: заключённый просит стражника сказать ему судьбу одного из двух заключённых B и С, не уточняя, кто будет казнён. В этом случае стражник подбрасывает монету, чтобы выбрать между B и С, и затем говорит судьбу одного из них. При такой формулировке возможны следующие случаи.

1. A помилован, стражник говорит: B будет казнён (1/6)
2. A помилован, стражник говорит: C будет казнён (1/6)
3. B помилован, стражник говорит: B помилован (1/6)
4. B помилован, стражник говорит: C будет казнён (1/6)
5. C помилован, стражник говорит: B будет казнён (1/6)
6. C помилован, стражник говорит: C помилован (1/6)

Все исходы имеют равную вероятность — 1/6. Итак: стражник в этой ситуации все равно выбирает из 6 случаев, и он всё ещё не может раскрыть карты и сказать, кто же помилован. В случае 3 стражник не может сказать, что B помилован, поэтому он скажет, что C будет казнён (что будет правдой, ведь если помилован B, заключённые A и C будут казнены). Также и в случае 6, когда помилован C, но стражник, не имеющий права этого говорить, назовёт одного из тех, кто будет казнён — он назовёт заключённому А имя заключённого B. Это доводит вероятность случаев 4 и 5 до 1/3, что приводит нас к изначальным результатам.