WikiSort.ru - Не сортированное

Дважды стохастическая матрица — квадратная матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ с неотрицательными вещественными элементами, в которой все её строчные и столбцовые суммы равны 1, то есть

${\displaystyle \sum _{i}a_{ij}=\sum _{j}a_{ij}=1}$ .

Множество всех дважды стохастических матриц обозначается через ${\displaystyle \Omega _{n}}$ .

Свойства

• Теорема Биркгофа. Множество ${\displaystyle \Omega _{n}}$ всех дважды стохастических матриц образует выпуклый многогранник, вершины которого — матрицы перестановки. Иначе говоря, если ${\displaystyle A\in \Omega _{n}}$ , то ${\displaystyle A=\sum _{j=1}^{s}\theta _{j}P_{j}}$ , где ${\displaystyle P_{1},...,P_{s}}$  — матрицы перестановки, а ${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{s}}$  — неотрицательные числа, ${\displaystyle \sum _{j=1}^{s}\theta _{j}=1}$ ^[1]
• Любая дважды стохастическая матрица ${\displaystyle S}$ порядка ${\displaystyle n}$ является выпуклой линейной комбинацией не более чем ${\displaystyle n^{2}-2n+2}$ матриц перестановок^[2].
• Пусть ${\displaystyle x_{1}\geqslant x_{2}\geqslant ...\geqslant x_{n}}$ и ${\displaystyle y_{1}\geqslant y_{2}\geqslant ...\geqslant y_{n}}$ , причем ${\displaystyle x_{1}+...+x_{k}\leqslant y_{1}+...+y_{k}}$ при всех ${\displaystyle k<n}$ и ${\displaystyle x_{1}+...+x_{n}=y_{1}+...+y_{n}}$ . Тогда существует такая дважды стохастическая матрица ${\displaystyle S}$ , что ${\displaystyle Sy=x}$ ^[2].

Примечания

Литература

• Минк Х. Перманенты. — М.: Мир, 1982. — 211 с.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Это заготовка статьи по статистике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.