WikiSort.ru - Не сортированное

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/3 марта 2019. Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или немотивированного удаления содержания, подробнее см. руководство к дальнейшему действию. Не снимайте пометку о выставлении на удаление до окончания обсуждения. Последнее изменение сделано участником Ahasheni (вклад, журналы) в 17:49, 3 марта 2019 (UTC; около 3 дней назад). Администраторам: ссылки сюда, история, журналы, удалить.

Вариационный принцип Дарвина — вариационный принцип, на основе которого можно получить как уравнения Максвелла, так и уравнение Дирака. Был найден Ч. Дарвином в 1928 г.^[1]

Формулировка

${\displaystyle \delta S=\delta \int \int \int \int Ldxdydzdt=0,}$

где плотность лагранжиана ${\displaystyle L}$ выражается через компоненты биспинорной волновой функции электрона ${\displaystyle \Psi _{1,2,3,4}}$ ^[2]

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{2i}}\left\{\Psi _{1}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{4}+{\frac {\partial \Psi _{3}}{\partial z}}\right]+\right.}$

${\displaystyle +\Psi _{2}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{3}-{\frac {\partial \Psi _{4}}{\partial z}}\right]+}$

${\displaystyle +\Psi _{3}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{3}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{2}+{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial z}}\right]+}$

${\displaystyle +\left.\Psi _{4}^{*}\left[-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Psi _{4}}{\partial t}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\Psi _{1}-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial z}}\right]\right\}+}$

${\displaystyle +mc\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{1}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{2}-\Psi _{3}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{4}\right)+}$

${\displaystyle +{\frac {e\varphi }{c}}\sum _{j=1}^{4}\Psi _{j}^{*}\Psi _{j}+}$

${\displaystyle +{\frac {e}{c}}A_{x}\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)+}$

${\displaystyle +{\frac {e}{c}}A_{y}\left(-i\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+i\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}-i\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+i\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)+}$

${\displaystyle +{\frac {e}{c}}A_{z}\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{1}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{2}\right)-}$

${\displaystyle -{\frac {1}{8\pi c}}\left[(rotA)^{2}-\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial A}{\partial t}}+\nabla \varphi \right)^{2}\right]}$

Уравнения Эйлера-Лагранжа

При варьировании ${\displaystyle L}$ считается функцией ${\displaystyle \Psi ,\Psi ^{*},A_{x},A_{y},A_{z},\varphi }$ .

Уравнения Эйлера-Лагранжа, получающиеся из требования обращения в нуль вариации ${\displaystyle \delta S}$ дают уравнения Дирака:

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi +mc^{2}\right)\Psi _{1}+c\Pi _{-}\Psi _{4}+c\Pi _{3}\Psi _{3}=0}$

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi +mc^{2}\right)\Psi _{2}+c\Pi _{+}\Psi _{3}-c\Pi _{3}\Psi _{4}=0}$

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi -mc^{2}\right)\Psi _{3}+c\Pi _{-}\Psi _{2}+c\Pi _{3}\Psi _{1}=0}$

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-e\varphi -mc^{2}\right)\Psi _{4}+c\Pi _{+}\Psi _{1}-c\Pi _{3}\Psi _{2}=0}$

Здесь ${\displaystyle \Pi _{\pm }=\Pi _{1}\pm \Pi _{2},\Pi _{j}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+{\frac {eA_{j}}{c}},j=1,2,3,4}$

Также они дают уравнения:

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\varphi =4\pi e\sum _{j=1}^{4}\Psi _{j}^{*}\Psi _{j}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)A_{x}=-4\pi e\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)A_{y}=-4\pi e\left(-i\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+i\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}-i\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+i\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)A_{z}=-4\pi e\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{1}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{2}\right)}$

Из них получаются уравнения Максвелла при помощи введения плотности заряда ${\displaystyle -e\rho }$ и плотности тока ${\displaystyle -ej}$ , где ${\displaystyle \rho =\Psi _{1}^{*}\Psi _{1}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{4}}$ , а компоненты плотности потока вероятности равны

${\displaystyle j_{x}=-c\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}+\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)}$

${\displaystyle j_{y}=ic\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{4}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{3}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{2}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{1}\right)}$

${\displaystyle j_{z}=-c\left(\Psi _{1}^{*}\Psi _{3}-\Psi _{2}^{*}\Psi _{4}+\Psi _{3}^{*}\Psi _{1}-\Psi _{4}^{*}\Psi _{2}\right)}$

При этом предполагается выполненным следующее нормировочное соотношение:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{4}\int \Psi _{j}^{*}\Psi _{j}d\tau =1}$

Определённые таким образом величины удовлетворяют уравнению неразрывности:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} j=0}$

См. также

• Уравнения Максвелла
• Уравнение Дирака

Примечания