Алгоритм Диксона — алгоритм факторизации, использующий в своей основе идею Лежандра, заключающуюся в поиске пары целых чисел и таких, что и
Метод Диксона является обобщением метода Ферма.
В 20-х г. XX столетия Морис Крайчик (1882—1957), обобщая теорему Ферма предложил вместо пар чисел, удовлетворяющих уравнению , искать пары чисел, удовлетворяющих более общему уравнению . Крайчик заметил несколько полезных для решения фактов. В 1981 г. Джон Диксон опубликовал разработанный им метод факторизации, использующий идеи Крайтчика, и рассчитал его вычислительную сложность.[2]
и положить:
Факторизуем число .
Все найденные числа с соответствующими векторами записываем в таблицу.
337 | 23814 | 1 | 5 | 0 | 2 | 0 | 0 |
430 | 5390 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 |
519 | 96 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
600 | 980 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 0 |
670 | 125 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 |
817 | 39204 | 2 | 4 | 0 | 0 | 2 | 0 |
860 | 21560 | 3 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 |
Решая линейную систему уравнений, получаем, что . Тогда
Следовательно,
Получилось разложение
Обозначим через количество целых чисел таких, что и является -гладким числом, где . Из теоремы де Брёйна — Эрдёша , где . Значит, каждое -гладкое число будет в среднем попадаться с попыток. Для проверки, является ли число -гладким, необходимо выполнить делений. По алгоритму необходимо найти -гладкое число. Значит, вычислительная сложность поиска чисел
Вычислительная сложность метода Гаусса из уравнений
Следовательно, суммарная сложность алгоритма Диксона
Учитывая, что количество простых чисел меньше оценивается формулой , и что , после упрощения получаем
выбирается таким образом, чтобы было минимально. Тогда подставляя , получаем
Рассмотрим дополнительные стратегии, ускоряющие работу алгоритма.
Стратегия LP использует большие простые числа для ускорения процедуры генерации чисел .
Пусть найденное в пункте 4 число не является -гладким. Тогда его можно представить , где не делится на числа из факторной базы. Очевидно, что . Если дополнительно выполняется , то s — простое и мы включаем его в факторную базу. Это позволяет найти дополнительные -гладкие числа, но увеличивает количество необходимых гладких чисел на 1. Для возврата к первоначальной факторной базе после пункта 5 следует сделать следующее. Если найдено только одно число, в разложение которого входит в нечетной степени, то это число нужно вычеркнуть из списка и вычеркнуть из факторной базы. Если же, например, таких чисел два и , то их нужно вычеркнуть и добавить число . Показатель войдет в разложение в четной степени и будет отсутствовать в системе линейных уравнений.
Можно использовать стратегию LP с несколькими простыми числами, не содержащимися в факторной базе. В этом случае для исключения дополнительных простых чисел используется теория графов.
Теоретическая оценка сложности алгоритма Диксона с применением LP стратегии остается прежней
Стратегия EAS (раннего обрыва) исключает некоторые из рассмотрения, не доводя проверку на гладкость до конца.
Выбираются фиксированные . В алгоритме Диксона факторизуется пробными делениями на . В стратегии EAS выбирается и число сначала факторизуется пробными делениями на , и если после разложения неразложенная часть остается больше, чем , то данное отбрасывается.
Можно использовать стратегию EAS с несколькими обрывами, то есть при некоторой возрастающей последовательности и убывающей последовательности .
Алгоритм Диксона с применением стратегии EAS при оценивается
Стратегия PS использует алгоритм Полларда-Штрассена, который для и находит минимальный простой делитель числа НОД за .[7]
Выбирается фиксированное . В алгоритме Диксона факторизуется пробными делениями на . В стратегии PS выбирается . Полагаем . Применяем алгоритм Полларда-Штрассена, выбирая за неразложенную часть, получим разложение .
Сложность алгоритма Диксона со стратегией PS минимальна при и равна
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .