WikiSort.ru - Не сортированное

Аксиоматика Бахмана — система аксиом нейтральной и Евклидовой геометрий, построенная на понятии групп движений. Предложенная Фридрихом Бахманом.^[1]

Обозначения

Переместительность двух элементов в группе, то есть выполнение тождества ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ будет обозначаться обозначается ${\displaystyle a|b}$ ; при этом ${\displaystyle a,b|c,d}$ означает одновременное выполнение ${\displaystyle a|c}$ , ${\displaystyle a|d}$ , ${\displaystyle b|c}$ и ${\displaystyle b|d}$ .

Дана группа ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ с инвариантной системой образующих ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ состоящая из инволютивных элементов. Элементы из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ обозначаются малыми латинскими буквами. Те инволютивные элементы из ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ , которые представимы как произведение двух элементов из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ (то есть элементы вида ${\displaystyle a\cdot b}$ , где ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {S}}}$ ) обозначаются большими латинскими буквами.

Нейтральная геометрия

Аксиома 1. Для любых ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$ найдется ${\displaystyle g}$ такой, что ${\displaystyle P,Q|g}$ .

Аксиома 2. Из ${\displaystyle P,Q|g,h}$ следует, что ${\displaystyle P=Q}$ или ${\displaystyle g=h}$ .

Аксиома 3. Если ${\displaystyle a,b,c|P}$ , то существует элемент ${\displaystyle d}$ такой,что ${\displaystyle a\cdot b\cdot c=d}$ .

Аксиома 4. Если ${\displaystyle a,b,c|g}$ , то существует элемент ${\displaystyle d}$ такой,что ${\displaystyle a\cdot b\cdot c=d}$ .

Аксиома D. Существуют ${\displaystyle g,h,j}$ такие, что ${\displaystyle g|h}$ , и не имеет места ни одно из соотношений ${\displaystyle j|g}$ , ${\displaystyle j|h}$ , ${\displaystyle j|g\cdot h}$ .

Евклидова геометрия

Система для евклидовой геометрии пополняется двумя аксиомами

Аксиома R. Из ${\displaystyle a,b|c}$ и ${\displaystyle a|d}$ следует ${\displaystyle b|d}$ .

Аксиома V. Для любых ${\displaystyle a,b}$ всегда найдется ${\displaystyle C}$ , что ${\displaystyle a,b|C}$ , или найдется такая прямая ${\displaystyle c}$ , что ${\displaystyle a,b|c}$ .

Примечания