WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений (англ. extensions) модулей, от которых он берёт своё имя.

Мотивировка: расширения модулей

Эквивалентность расширений

Пусть A — абелева категория. Согласно теореме Митчелла о вложении^[en], можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида

0\to X\to Y\to Z\to 0

.

Два расширения

0\to X\to Y\to Z\to 0

0\to X\to Y'\to Z\to 0

называются эквивалентными, если существует морфизм $g:Y\to Y'$ , делающий диаграмму

{\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}

коммутативной, где $\operatorname {id}$ — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом.

Класс расширений Z при помощи X по модулю этого этношения эквивалентности образует множество, которое обозначают $\operatorname {Ext} ^{1}(X,Z)$ и называют множеством классов расширений Z при помощи X.

Сумма Баера

Если даны два расширения

0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0

0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0

можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над $A$ ,

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Мы рассматриваем фактор

Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\}

,

то есть факторизуем по соотношениям $(f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')$ . Расширение

0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0

где первая стрелка отображает $b$ в $[(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ , а вторая отображает $(e,e')$ в $g(e)=g'(e')$ , называется суммой Баера расширений E и E'.

С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 → B → E → A → 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g.

Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу.

Определение

Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom

T(B)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)

.

Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом:

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)

.

В частности, $\operatorname {Ext} ^{0}=\operatorname {Hom}$ .

Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom $G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)$ и определить $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)$ . Определённые таким образом функторы Ext изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно.

Свойства

Exti
R(A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен.
Обратное утверждение также верно: если Ext1
R(A, B) = 0 для всех A, то Exti
R(A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если Ext1
R(A, B) = 0 для всех B, то Exti
R(A, B) = 0 для всех B и A проективен.
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)$
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta }B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })$
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0$ при n ≥ 2 для абелевых групп A и B.
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB$ для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$ для любой конечно порождённой абелевой группы A.
Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n, $S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S^{-1}A,S^{-1}B)$ .
Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалетны для любого модуля B и любого n:
- $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.$
- Для каждого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ кольца R, $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}},B_{\mathfrak {p}})=0$ .
- Для каждого максимального идеала ${\mathfrak {m}}$ кольца R, $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}},B_{\mathfrak {m}})=0$ .

Литература

Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. — Cambridge University Press, 1994. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). — ISBN 978-0-521-55987-4.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии