WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Трахтенброта — теорема о неразрешимости истинности формул логики первого порядка для конечных моделей. Была сформулирована Б. А. Трахтенбротом в 1950 г.^[1] Её следствием является существование неограниченного числа формул, выражающих условие (а, следовательно, и определение) конечности множества и среди них имеется неограниченное множество независимых.^[2] Также её следствием является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности (для любой аксиомы бесконечности найдется более слабая аксиома бесконечности)^[3].

Пояснения

Существует ряд логических формул, выражающих условие конечности множества и, следовательно, являющимися его определениями, например:

• множество конечно, если оно индуктивно;
• множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно^[4];
• множество конечно, если оно нерефлексивно;
• множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству^[4].

Следствием теоремы Трахтеброта является существование неограниченного числа таких формул и отсутствие среди них самой слабой и самой сильной.^[2]

В математической логике формула ${\displaystyle A}$ считается сильнее формулы ${\displaystyle B}$ , если ${\displaystyle B}$ следует из ${\displaystyle A}$ , но ${\displaystyle A}$ не следует из ${\displaystyle B}$ .

Другим следствием теоремы Трахтенброта является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности^[3].

Примечания

Литература

• Черч А. Введение в математическую логику. — М: ИЛ, 1960. — 484 с.
• Френкель А. А., Бар-Хиллел Р. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.