WikiSort.ru - Не сортированное

Замечания

Поскольку

${\displaystyle \mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|z-w\right|}{\left|1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},}$

условие

${\displaystyle d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})}$

эквивалентно следующему неравенству:

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}.}$

Если ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ бесконечно близки, оно превращается в

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$