WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной переменной. Согласно этой теореме каждая измеримая на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры.

Формулировка

Для того, чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$ была измерима на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ , необходимо и достаточно, чтобы она обладала на этом отрезке ${\displaystyle c}$ - свойством.

Пояснения

Функция ${\displaystyle f(x)}$ , заданная на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ , обладает ${\displaystyle c}$ - свойством, если для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ найдется совершенное множество ${\displaystyle P\subset \left[a,b\right]}$ такое, что ${\displaystyle \mu (P)>(b-a)-\epsilon }$ и ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle P}$ непрерывна.

Доказательство

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге ^[1]

Примечания

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Викифицировать список литературы.