WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Коши́ о среднем значении — вариант формулы конечных приращений.

Формулировка

Пусть даны две функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ такие, что:

1. ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ определены и непрерывны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ ;
2. производные ${\displaystyle f'(x)}$ и ${\displaystyle g'(x)}$ конечны на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ ;
3. производные ${\displaystyle f'(x)}$ и ${\displaystyle g'(x)}$ не обращаются в нуль одновременно на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ ;
4. ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ;

тогда существует ${\displaystyle c\in (a,b)}$ , для которой верно:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}.}$

Доказательство

Для доказательства введём функцию

${\displaystyle F(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}{\big (}g(x)-g(a){\big )}.}$

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка ${\displaystyle c}$ , в которой производная функции ${\displaystyle F}$ равна нулю, а ${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$ равна как раз необходимому числу.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.