WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Киршбрауна о продолжении (иногда называется теорема Валентайн) — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle S}$ произвольное подмножество евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , тогда произвольное короткое отображение ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{m}}$ можно продолжить до короткого отображения ${\displaystyle {\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ; иначе говоря, существует короткое отображение ${\displaystyle {\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ такое, что ${\displaystyle {\bar {f}}|_{S}=f}$ .

Вариации и обобщения

• Естественно обобщается на
  • Отображения из подмоножества гильбертова пространства в гильбертово пространство.
  • Отображения из подмоножества пространства Лобачевского в пространство Лобачевского той же кривизны
• Аналогичный результат для отбражений между сферами не верен, однако теорема остаётся верной для
  • Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны.
  • Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности.
• Аналогичный результат для банаховых пространств неверен.
• Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и Шрёдерем^[1][2]

История

Была доказана в диссертации Мойжеша Киршбрауна (защищена в 1930)^[3]. Позже эту теорему передоказал Фредерик Валентайн^[4].

См. также

• Теорема Титце о продолжении

Примечания