WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. Несмотря на прозрачность и очевидность доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей или хотя бы доказательства их существования.

Доказательство и формулировка

Пусть ${\displaystyle {x_{n}}}$ - ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множество ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ограничено, следовательно, по теореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через ${\displaystyle S}$ . Тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=S}$ . Действительно, так как ${\displaystyle S}$  — супремум множества ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ , то для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует номер ${\displaystyle N}$ такой, что ${\displaystyle S-\varepsilon <x_{N}\leqslant S}$ . Тогда для любого ${\displaystyle n>N}$ имеем: ${\displaystyle S-\varepsilon <x_{N}\leqslant x_{n}\leqslant S}$ . Тогда ${\displaystyle \left|{x_{n}-S}\right|<\varepsilon }$ при ${\displaystyle n>N}$ . Следовательно, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=S}$ . Теорема доказана.^[1]

Примечания

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.