WikiSort.ru - Не сортированное

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым^[1].

Определение

n-мерное замкнутое многообразие М называется существенным, если его фундаментальный класс [М] определяет ненулевой элемент в гомологии его фундаментальной группы π. Точнее, естественный гомоморфизм

${\displaystyle H_{n}(M)\to H_{n}(K(\pi ,1))}$ ,

не тривиален.

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие является ориентируемым, и коэффициентами по модулю 2 в противном  случае.

Примеры

• Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S².
• Вещественное проективное пространство RPⁿ является существенным, поскольку включение

  ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty }}$

является инъективным в гомологиях и

${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)}$

— это K(π,1)-пространство (англ.) конечной циклической группы порядка 2.

• Все компактные асферические многообразия^[en] являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является K(π,1))
  • В частности, все компактные гиперболические многообразия^[en] являются существенными.
• Все линзовые пространства являются существенными.

Свойства

• Связная сумма существенных многообразий существенна.
• Прямое произведение существенных многообразий существенно.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.

Примечания