WikiSort.ru - Не сортированное

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

Определение

Пусть ${\displaystyle E}$ — топологическое векторное пространство и ${\displaystyle E^{*}}$ — соответствующее сопряженное пространство. Последовательность элементов ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset E}$ слабо сходится к элементу ${\displaystyle x_{0}\in E}$ , если для любого непрерывного линейного функционала ${\displaystyle f\in E^{*}}$ последовательность чисел ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к ${\displaystyle f(x_{0})}$ .

При этом сходимость в пространстве ${\displaystyle E}$ , определяемая его исходной топологией, называется сильной.

Свойства

• Если последовательность сходится к некоторому элементу сильно, то она сходится к этому элементу и слабо.
• В конечномерном евклидовом пространстве понятия сильно и слабой сходимости совпадают.
• В случае, когда ${\displaystyle E}$ — нормированное векторное пространство, имеют место следующие утверждения. Слабо сходящаяся последовательность элементов ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset E}$ является ограниченной, то есть ${\displaystyle \|x_{n}\|\leq C}$ для некоторого положительного числа ${\displaystyle C}$ . Последовательность элементов ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset E}$ слабо сходится к элементу ${\displaystyle x_{0}\in E}$ , если она является ограниченной и ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к ${\displaystyle f(x_{0})}$ для каждого непрерывного линейного функционала из некоторого подмножества пространства ${\displaystyle E^{*}}$ , линейная оболочка которого всюду плотна в ${\displaystyle E^{*}}$ .

Пример

Пусть ${\displaystyle E=C[a,b]}$ — пространство непрерывных функций на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ с нормой, определенной равномерной сходимостью (сильная сходимость). Последовательность функций ${\displaystyle \{x_{n}(\cdot )\}}$ слабо сходится к функции ${\displaystyle x_{0}(\cdot )}$ , если и только если она является равномерно ограниченной, то есть ${\displaystyle |x_{n}(t)|\leq C}$ при всех ${\displaystyle t\in [a,b]}$ для некоторого положительного числа ${\displaystyle C}$ , и ${\displaystyle \{x_{n}(\cdot )\}}$ сходится к ${\displaystyle x_{0}(\cdot )}$ поточечно, то есть последовательность ${\displaystyle \{x_{n}(t)\}}$ сходится к ${\displaystyle \{x_{n}(t)\}}$ при каждом ${\displaystyle t\in [a,b]}$ .

Литература

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, — М.: Наука, 1965.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.