WikiSort.ru - Не сортированное

Резольвента алгебраического уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ степени n — это алгебраическое уравнение ${\displaystyle g(y)=0}$ с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет решить исходное уравнение путём решения более простых уравнений (то есть таких, что их степень не больше n).

Также резольвентой называют само рациональное выражение ${\displaystyle y=y(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ , то есть зависимость коэффициентов резольвенты как уравнения (g(y) = 0) от коэффициентов исходного уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение 4-й степени:

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0.}$

Для решения этого уравнения используется кубическая резольвента

${\displaystyle y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0.}$

Корни резольвенты ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ связаны с корнями исходного уравнения ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (которые нам и нужно найти) следующими соотношениями:

${\displaystyle y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}),}$

${\displaystyle y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}),}$

${\displaystyle y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3}).}$

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между ${\displaystyle y_{i}}$ и ${\displaystyle x_{i}}$ вместе с исходным уравнением дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.