WikiSort.ru - Не сортированное

Выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла^[1]. Связано это с тем, что функция двух переменных ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ в точке ${\displaystyle \{0,0\}}$ имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$ где ${\displaystyle y=0,}$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$ где ${\displaystyle x=0,}$ она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении ${\displaystyle 0^{0}}$ не может дать непрерывную в нуле функцию.

Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В пользу последнего варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

можно записать короче, если принять ${\displaystyle 0^{0}=1}$ :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!},}$

(наше соглашение используется при ${\displaystyle x=0,n=0}$ ).

Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:

${\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}}$ ,

и тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.

Другое обоснование соглашения ${\displaystyle 0^{0}=1}$ опирается на «Теорию множеств» Бурбаки^[2]: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно ${\displaystyle m^{n},}$ при ${\displaystyle m=n=0}$ получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$ не используется.

В любом случае соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$ чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. Пример для аналитических вычислений: выражение ${\displaystyle (a^{-1/t})^{t},}$ где ${\displaystyle a}$ — произвольное положительное вещественное число. При ${\displaystyle t\to 0}$ мы получаем неопределённость типа ${\displaystyle 0^{0},}$ и, если не отличать предельную форму ${\displaystyle 0^{0}}$ (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение ${\displaystyle 0^{0}}$ (где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно ${\displaystyle a^{-1}.}$ это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.

История различных точек зрения

Дискуссия по поводу определения ${\displaystyle 0^{0}}$ продолжается, по крайней мере, с начала XIX века. Многие математики тогда принимали это соглашение, но в 1821 году Коши^[3] причислил ${\displaystyle 0^{0}}$ к неопределённостям, таким, как ${\displaystyle {\frac {0}{0}}.}$ В 1830-х годах Либри^[en][4][5] опубликовал неубедительный аргумент в пользу ${\displaystyle 0^{0}=1}$ (см. Функция Хевисайда § История), и Мёбиус^[6] встал на его сторону, ошибочно заявив, что ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}\;=\;1}$ всякий раз, когда ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)\;=\;\lim _{t\to 0^{+}}g(t)\;=\;0}$ . Обозреватель, который подписал свое имя просто как «S», предоставил контрпример ${\displaystyle \scriptstyle (e^{-1/t})^{t}}$ , и это немного успокоило дебаты. Больше исторических деталей можно найти в книге Кнута (1992)^[7].

Более поздние авторы интерпретируют ситуацию выше по-разному. Некоторые утверждают, что наилучшее значение для ${\displaystyle 0^{0}}$ зависит от контекста, и поэтому определение его раз и навсегда проблематично^[8]. Согласно Бенсону (1999), «Выбор, следует ли определять ${\displaystyle 0^{0},}$ основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения ${\displaystyle 0^{0}}$ , то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. <…> Консенсус заключается в использовании определения ${\displaystyle 0^{0}=1}$ , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения ${\displaystyle 0^{0}}$ »^[9].

Часть зарубежных математиков считает, что ${\displaystyle 0^{0}}$ должен быть определён как 1. Например, Кнут (1992) уверенно утверждает, что ${\displaystyle 0^{0}}$ «должно быть 1», делая различие между значением ${\displaystyle 0^{0}}$ , которое должно равняться 1, как это было предложено Либри, и предельной формой ${\displaystyle 0^{0}}$ (аббревиатура для предела ${\displaystyle \scriptstyle f(x)^{g(x)}}$ где ${\displaystyle \scriptstyle f(x),g(x)\to 0}$ ), что обязательно является неопределенностью, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина на их стороне»^[7].

Авторитетный сайт MathWorld, приведя мнение Кнута, всё же констатирует, что обычно значение ${\displaystyle 0^{0}}$ считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$ позволяет в некоторых случаях упростить запись формул^[10]. В России Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники характеризуют ${\displaystyle 0^{0}}$ как выражение, не имеющее смысла (неопределённость).

В компьютерах

Стандарт IEEE 754-2008, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой, определяет три функции возведения в степень^[11]:

• Функция для возведения в целую степень: ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,y)}$ . Согласно стандарту, ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)=1}$ для любого ${\displaystyle x}$ , в том числе, когда ${\displaystyle x}$ равен нулю, NaN или бесконечности.
• Функция для возведения в произвольную степень: ${\displaystyle \operatorname {powr} (x,y)}$ (по сути равная ${\displaystyle \exp(y\log(x))}$ ). Согласно стандарту, ${\displaystyle \operatorname {powr} (\pm 0,\pm 0)}$ возвращает значение «не число» NaN.
• Функция для возведения в произвольную степень, которая особо определена для целых чисел: ${\displaystyle \operatorname {pow} (x,y)}$ . Согласно стандарту, ${\displaystyle \operatorname {pow} (x,\pm 0)=1}$ для всех ${\displaystyle x}$ (так же, как и ${\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)}$ ).

Во многих языках программирования ноль в нулевой степени равен 1. Например, в C++: pow(0,0)==1, в языке Haskell это верно для всех трёх стандартных операций возведения в степень: 0^0==1, 0^^0==1, 0**0==1.

Примечания