WikiSort.ru - Не сортированное

Неравенство Бернштейна в математическом анализе связывает норму производной полинома с нормой самого полинома.

Первое неравенство было установлено российским математиком С. Н. Бернштейном в 1912 году. Пусть ${\displaystyle f_{n}}$ --- вещественнозначный тригонометрический полином степени ${\displaystyle n}$ , тогда:

${\displaystyle \|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant 2n\|f_{n}\|_{\infty }}$ .

Неравенство вскоре было уточнено Э. Ландау:

${\displaystyle \|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant n\|f_{n}\|_{\infty }}$ .

Здесь константу ${\displaystyle n}$ уменьшить нельзя.

В 1914 году М. Рис перенес последнее неравенство на случай тригонометрических полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.

В дальнейшем неравенство многократно обобщалось. В частности А. Зигмунд в 1933 году перенес его на пространства ${\displaystyle L^{p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 1}$ :

${\displaystyle \|f_{n}'\|_{p}\leqslant n\|f_{n}\|_{p}}$ .

В. В. Арестов в 1979 году доказал справедливость неравенства и при ${\displaystyle 0<p<1}$ .

Кроме того, стали развиваться и так называемые неравенства Бернштейна для разных метрик вида

${\displaystyle \|f_{n}'\|_{p}\leqslant C(n,p)\|f_{n}\|_{\infty }}$ .

Ссылки

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.