WikiSort.ru - Не сортированное

Без нулей

Пусть необходимо вычислить определитель:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-2&-1&-1&-4\\-1&-2&-1&-6\\-1&-1&2&4\\2&1&-3&-8\end{vmatrix}}.}$

Составим матрицу ${\displaystyle B}$ из миноров порядка 2.

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}{\begin{vmatrix}-2&-1\\-1&-2\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&-1\\-2&-1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&-4\\-1&-6\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-2&-1\\-1&2\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&-6\\2&4\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}-1&-1\\2&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&2\\1&-3\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&4\\-3&-8\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-1&2\\-1&-5&8\\1&1&-4\end{bmatrix}}.}$

Составим матрицу ${\displaystyle C}$ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{vmatrix}3&-1\\-1&-5\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-1&2\\-5&8\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}-1&-5\\1&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-5&8\\1&-4\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-16&2\\4&12\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}8&-2\\-4&6\end{bmatrix}}.}$

Элементы матрицы ${\displaystyle C}$ мы получили разделив элементы полученной матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-16&2\\4&12\end{bmatrix}}}$ на внутренние элементы матрицы ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}$

Повторяем этот процесс, пока не получим матрицу порядка 1. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{vmatrix}8&-2\\-4&6\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}40\end{bmatrix}}.}$ Делим на внутреннюю часть матрицы размера ${\displaystyle 3\times 3}$ , то есть на ${\displaystyle -5}$ , получаем ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-8\end{bmatrix}}}$ .

${\displaystyle -8}$ и есть искомый определитель исходной матрицы.

С нулями

Запишем необходимые матрицы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1&2&1&-3\\1&2&1&-1&2\\1&-1&-2&-1&-1\\2&1&-1&-2&-1\\1&-2&-1&-1&2\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}5&-5&-3&-1\\-3&-3&-3&3\\3&3&3&-1\\-5&-3&-1&-5\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}-30&6&-12\\0&0&6\\6&-6&8\end{bmatrix}}.}$

Возникает проблема. Если мы продолжим этот процесс, то возникнет необходимость деления на 0. Однако мы можем переставить строки исходной матрицы и повторить процесс:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1&-1&2\\1&-1&-2&-1&-1\\2&1&-1&-2&-1\\1&-2&-1&-1&2\\2&-1&2&1&-3\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}-3&-3&-3&3\\3&3&3&-1\\-5&-3&-1&-5\\3&-5&1&1\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}0&0&6\\6&-6&8\\-17&8&-4\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}0&12\\18&40\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}36\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, определитель исходной матрицы 36.

Тождество Доджсона

Доказательство метода конденсации Доджсона основано на тождестве, известном, как тождество Доджсона (тождество Якоби).

Пусть ${\displaystyle A=(m_{i,j})_{i,j=1}^{k}}$  — квадратная матрица, и для всех ${\displaystyle 1\leq i,j\leq k}$ обозначим ${\displaystyle M_{i}^{j}}$ минор матрицы ${\displaystyle A}$ , который получается вычёркиванием ${\displaystyle i}$ -й строки и ${\displaystyle j}$ -го столбца. Аналогично для ${\displaystyle 1\leq i,j,p,q\leq k}$ обозначим ${\displaystyle M_{i,j}^{p,q}}$ минор, который получается из матрицы ${\displaystyle A}$ вычёркиванием ${\displaystyle i}$ -й и ${\displaystyle j}$ -й строк и ${\displaystyle p}$ -го и ${\displaystyle q}$ -го столбцов. Тогда

${\displaystyle \det(A)\cdot M_{1,k}^{1,k}=M_{1}^{1}\cdot M_{k}^{k}-M_{1}^{k}\cdot M_{k}^{1}.}$

Доказательство тождества Доджсона

Доказательство корректности конденсации Доджсона