WikiSort.ru - Не сортированное

В теории категорий, диагональный функтор — это функтор, в некотором смысле являющийся обобщением декартовой степени множества.

Для произвольной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ можно рассмотреть категорию функторов ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$  — малая категория. Диагональный функтор ${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ сопоставляет каждому объекту категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ постоянный функтор, отправляющий все объекты ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ он сопоставляет очевидное естественное преобразование функторов. Часто рассматривают случай, когда ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$  — дискретная категория из двух объектов, в этом случае мы получаем функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ .

Диагональный функтор предоставляет способ определить пределы и копределы функторов. Операция взятия предела диаграммы типа ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ (если все пределы этого типа в категории существуют) — это функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ , оказывается что функтор предела является правым сопряженным к диагональному функтору. Соответственно, функтор копредела, если все копределы нужного типа существуют, — левый сопряженный к диагональному.

Литература

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.