WikiSort.ru - Не сортированное

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$ ,

заданное в области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ , является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ таких, что их разница ${\displaystyle X-Y}$ положительно определенна, и любых значений ${\displaystyle x\in \Omega }$ , ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).}$

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция ${\displaystyle u}$ , заданная в ${\displaystyle \Omega }$ , называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \geqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ , выполняется неравенство

${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.}$

Аналогично полунепрерывная снизу функция ${\displaystyle u}$ , заданная в ${\displaystyle \Omega }$ , называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \leqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.}$

Непрерывная функция ${\displaystyle u}$ является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.