WikiSort.ru - Не сортированное

Соотношения для углов и кривизн

Углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ считаются определёнными в диапазоне ${\displaystyle [-\pi ;\,\pi ]}$ : ${\displaystyle -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi }$ , ${\displaystyle -\pi \leqslant \beta \leqslant \pi }$ . Построение бидуги возможно при

${\displaystyle \qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .\qquad (1)}$

Введём обозначения

${\displaystyle \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}},\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ .

Неравенства (1) означают, что ${\displaystyle \sin \omega \not =0}$ .

Кривизна ${\displaystyle k_{1}}$ первой дуги ${\displaystyle (AJ)}$ и кривизна ${\displaystyle k_{2}}$ второй дуги ${\displaystyle (JB)}$ выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:

${\displaystyle k_{1}(p)={\frac {1}{c}}\left(-\sin \alpha -{\frac {\sin \omega }{p}}\right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right).}$

Пусть

• ${\displaystyle \theta _{1}}$ и ${\displaystyle L_{1}}$  – поворот и длина дуги ${\displaystyle AJ}$ :    ${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1}}$ ;
• ${\displaystyle \theta _{2}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$  – поворот и длина дуги ${\displaystyle JB}$ :    ${\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2}}$ .

Справедливы равенства

${\displaystyle \theta _{1}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }+p^{-1}{\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }+p\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }\right).}$

Геометрическое место точек сопряжения

Точки сопряжения ${\displaystyle J}$ двух дуг расположены на окружности

${\displaystyle X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad -\infty \leqslant p\leqslant \infty .\qquad (2)}$

Эта окружность выходит из точки ${\displaystyle A}$ под углом ${\displaystyle \gamma }$ и проходит через точку ${\displaystyle B}$ . При ${\displaystyle \gamma =0}$ (т.е. при ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ) это прямая ${\displaystyle AB}$ (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом ${\displaystyle \omega }$ .

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть ${\displaystyle ||\cos \tau _{{}_{J}},\,\sin \tau _{{}_{J}}||}$ , где

${\displaystyle \tau _{{}_{J}}(p)={-2}\operatorname {arctg} {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.}$

Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, ${\displaystyle \min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,}$ реализуется при ${\displaystyle p=\pm 1;}$ точка ${\displaystyle J}$ при этом лежит на оси ординат ${\displaystyle (X_{J}=0).}$

Вырожденные бидуги

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

1. Бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$ : при ${\displaystyle p\to 0}$ точка сопряжения ${\displaystyle J(p)}$ бидуги ${\displaystyle AJB}$ стремится к точке ${\displaystyle A}$ , часть ${\displaystyle AJ}$ исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду ${\displaystyle AB}$ и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
2. Бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$ : стремление ${\displaystyle p\to \infty }$ влечёт ${\displaystyle J(p)\to B}$ , часть ${\displaystyle JB}$ исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду ${\displaystyle AB}$ и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
3. Бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p^{\ast })}$ , где

   ${\displaystyle \qquad p^{\ast }=\left\{{\begin{array}{lll}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},\quad &{\text{если}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (-\infty ,\;{\text{если}}\;|\alpha |=\pi ),\\-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},\quad &{\text{если}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (\;0,\;\;\;{\text{если}}\;|\beta |=\pi ),\end{array}}\right.}$

   представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда ${\displaystyle p^{\ast }\leqslant 0}$ , а неравенства (1) исключают одновременное равенство ${\displaystyle |\alpha |=|\beta |=\pi }$ .

   На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ проходит единственная бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ .

Структура семейства

В семействе бидуг ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)}$ выделим, в зависимости от значения параметра ${\displaystyle p,}$ , следующие подсемейства невырожденных бидуг:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\end{array}}}$

(в^[4], Property 2, подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,-}}$ названы, соответственно, main subfamily и complementary subfamily).

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$ , ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ и ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

Бидуги подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$  – короткие. Их кривизна либо возрастает (если ${\displaystyle \omega >0}$ ), либо убывает (если ${\displaystyle \omega <0}$ ):

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn} \omega =\operatorname {sgn}(\alpha +\beta )}$ (теорема В.Фогта для коротких спиралей).

Они заключены внутри линзы – области, ограниченной вырожденными бидугами ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$ (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна ${\displaystyle \alpha +\beta =2\omega }$ . ГМТ (2) есть биссектриса линзы.

Бидуги подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,-}}$ имеют противоположный (по отношению к ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$ ) характер монотонности кривизны:

${\displaystyle \operatorname {sgn} (k_{2}-k_{1})=-\operatorname {sgn} \omega .}$

Подсемейство ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ пусто, если ${\displaystyle p^{\ast }=0}$      ${\displaystyle (|\beta |=\pi ).}$

Подсемейство ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ пусто, если ${\displaystyle p^{\ast }=-\infty }$ ${\displaystyle (|\alpha |=\pi ).}$

Если ${\displaystyle |\alpha |\not =\pi }$ и ${\displaystyle |\beta |\not =\pi }$ , то бидуги этого подсемейства – длинные. Разрывная бидуга ${\displaystyle \color {red}{\mathcal {B}}(p^{\ast })}$ отграничивает друг от друга бидуги подсемейств ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\color {blue}1},{\color {green}2}}^{\,-}}$ .

Переопределение граничных углов в кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию ${\displaystyle \tau (s)}$  – угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы ${\displaystyle \pm \pi }$ , и значения на концах могут отличаться от ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ на ${\displaystyle \pm 2\pi .}$ Определим, наряду с ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ , кумулятивные версии граничных углов в виде ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }},{\widetilde {\beta }}}$ , с учётом непрерывности ${\displaystyle \tau (s).}$ Поправка к углу ${\displaystyle \alpha }$ вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки ${\displaystyle A,}$ т.е. пересекает луч ${\displaystyle \{x<-c,\,y=0\}}$ ; поправка к углу ${\displaystyle \beta }$ вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки ${\displaystyle B}$ (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):

• в подсемействе ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$ :    ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta }$ ;
• в подсемействе ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ :    ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha -2\pi \operatorname {sgn} \omega ,\;{\widetilde {\beta }}=\beta }$ ;
• в подсемействе ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ :    ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta -2\pi \operatorname {sgn} \omega }$ .

Тогда полный поворот бидуги ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$   равен

${\displaystyle \theta _{1}(p)+\theta _{2}(p)={\widetilde {\beta }}-{\widetilde {\alpha }},}$

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }})}$

(обобщение теоремы В.Фогта).

Так, для бидуг с возрастающей кривизной ${\displaystyle k_{2}>k_{1}}$ имеем

${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}>-\pi ,\quad {\widetilde {\beta }}>-\pi ,\quad 0<{\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}<2\pi .}$