WikiSort.ru - Не сортированное

Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов. Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}$ , где ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}}$  — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если ${\displaystyle g(x)g(y)=g(z)}$ , то n параметров ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{n}}$ являются функциями от параметров ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},y_{1},y_{2},y_{3},...,y_{n},}$ . Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных ${\displaystyle z=f(x,y)}$ . Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе:

1. Произведение ${\displaystyle g(x)g(y)}$ любых двух элементов группы должно быть элементом группы.
2. Умножение элементов ассоциативно: ${\displaystyle [g(x)g(y)]g(z)=g(x)[g(y)g(z)]}$ .
3. Имеется единичный элемент группы g(1), так что для всех g(x) выполняется ${\displaystyle g(1)g(x)=g(x)g(1)=g(x)}$
4. Каждый элемент имеет единственный обратный, те для каждого g(x) имеется единственный элемент группы ${\displaystyle g(x_{-1})}$ , такой что ${\displaystyle g(x)g(x_{-1})=g(x_{-1})g(x)=g(1)}$ .

Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство ${\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))}$ выполняется для всех x, y, z.

Примеры бесконечных групп

• Группа Ли. Элементы группы Ли представлены непрерывными и обладающими производными всех порядков функциями ${\displaystyle f(x,y)}$ , удовлетворяющими обычным условиям принадлежности к группе.
• Специальная унитарная группа ${\displaystyle SU(n)}$ . Группа ${\displaystyle SU(n)}$ имеет ${\displaystyle n^{2}-1}$ параметр.
• Группа всех вещественных ортогональных матриц ${\displaystyle O(n)}$ . Группа ${\displaystyle O(n)}$ имеет ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ параметров.

См. также

• Конечная группа
• Группа Ли
• Специальная унитарная группа
• Ортогональная матрица

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. — Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.