WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Алгоритм Ремеза (также алгоритм замены Ремеза) — это итеративный алгоритм равномерного аппроксимирования функций f ∊ C[a,b], основанный на теореме П. Л. Чебышёва об альтернансе. Предложен Е. Я. Ремезом в 1934 году^[1].

Алгоритм Ремеза применяется при проектировании КИХ-фильтров^[2].

Математические основания

Теорема Чебышёва

Теоретической основой алгоритма Ремеза является следующая теорема^[3].

Для того, чтобы некоторый многочлен P^*(x) степени не выше n был многочленом, наименее уклоняющимся от f ∊ C[a,b], необходимо и достаточно, чтобы на [a,b] нашлась по крайней мере одна система из n + 2 точек x_i, a ≤ x₀ < x₁ < … < x_n+1 ≤ b, в которых разность f(x) - P^*(x):

поочерёдно принимает значения разных знаков,

достигает по модулю наибольшего на [a,b] значения.

Такая система точек называется чебышёвским альтернансом.

П. Л. Чебышёв, 1854

Теорема Валле-Пуссена

Пусть E_n — величина наилучшего приближения функции f(x) многочленами степени n. Оценку E_n снизу даёт следующая теорема^[4]:

Если для функции f ∊ C[a,b] некоторый многочлен P(x) степени n обладает тем свойством, что разность f(x) - P(x) на некоторой системе из n + 2 упорядоченных точек x_i принимает значения с чередующимися знаками, то

$E_{n}(f)\geq \min |f(x_{i})-P(x_{i})|.$

Ш.-Ж. Валле-Пуссен, 1919

Алгоритм

Рассмотрим систему n + 1 функций Φ = {φ₀,…,φ_n}, последовательность n + 2 точек X = a ≤ x₀ < x₁ < … < x_n+1 ≤ b и будем искать аппроксимирующий многочлен $P_{X}=\sum _{0}^{n}a_{j}\varphi _{j}$ .

Решаем систему линейных уравнений относительно a_j и d:
$\sum _{j=0}^{n}a_{j}\varphi _{j}(x_{i})+(-1)^{i}d=f(x_{i}),\quad i=0,1,\ldots ,n.$
Находим точку ξ такую, что D = |f(ξ) — P(ξ)| = max.
Заменяем в X одну из точек на ξ таким образом, чтобы знак f — P чередовался в точках новой последовательности. На практике следят только за тем, чтобы точки x_i были упорядочены на каждой итерации^[5].
Повторяем все шаги с начала до тех пор, пока не будет |d| = D.

На втором шаге мы можем искать не одну точку ξ, а множество Ξ точек, в которых достигаются локальные максимумы |f — P|. Если все ошибки в точках множества Ξ одинаковы по модулю и чередуются по знаку, то P — минимаксный многочлен. Иначе заменяем точки из X на точки из Ξ и повторяем процедуру заново.

Выбор начальных точек

В качестве начальной последовательности X можно выбирать точки, равномерно распределённые на [a,b]. Целесообразно также брать точки^[6]:

x_{i}={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}\cos \left({\frac {\pi i}{n+1}}\right),\quad i=0,\ldots ,n+1.

Модификация

Если аппроксимирующая функция ищется в виде многочлена, то вместо решения системы на первом шаге алгоритма, можно воспользоваться следующим методом^[7]:

Находим многочлен q(x) степени n+1 такой, что q(x_i) = f(x_i) (задача интерполяции).
Находим также многочлен q^*(x) степени n+1 такой, что q^*(x_i) = (-1)ⁱ.
Выбирая d так, чтобы многочлен P(x) ≡ q(x) — d q^*(x) имел степень n, получаем P(x_i) + (-1)ⁱd = f(x_i).

Дальше повторяются шаги по основной схеме.

Условие остановки

Так как по теореме Валле-Пуссена |d| ≤ E_n(f) ≤ D, то условием остановки алгоритма может быть D — |d| ≤ ε для некоторого наперёд заданного ε.

Сходимость

Алгоритм Ремеза сходится со скоростью геометрической прогрессии в следующем смысле^[8]:

Для любой функции f ∊ C[a,b] найдутся числа A > 0 и 0 < q < 1 такие, что максимальные уклонения от функции f(x) полиномов $P_{n}^{(k)}(x)$ , построенных по этому алгоритму, будут удовлетворять неравенствам

$\max |f(x)-P_{n}^{(k)}(x)|-E_{n}(f)\leq Aq^{k},\quad k=1,2,\ldots ,$

где E_n(f) — величина наилучшего приближения на [a,b] функции f(x) при помощи полиномов P_n(x).

Е. Я. Ремез, 1957

Пример

f(x) = e^x, n = 1, P(x) = a x+b.

Шаг 1.

X₁	−1	0	1
f(x_i)	0.368	1.000	2.718

{\begin{cases}({-}1)a+b+d=0.368\\(0)a+b-d=1.000\\(1)a+b+d=2.718\end{cases}}

Решение системы даёт P = 1.175x + 1.272, d = 0.272.
D = max|e^ξ-P(ξ)| = 0.286 при ξ = 0.16.

Шаг 2.

X₂	−1	0.16	1
f(x_i)	0.368	1.174	2.718

{\begin{cases}({-}1)a+b+d=0.368\\(0.16)a+b-d=1.174\\(1)a+b+d=2.718\end{cases}}

Решение системы даёт P = 1.175x + 1.265, d = 0.279.
D = max|e^ξ-P(ξ)| = 0.279 при ξ = 0.16.

Так как в пределах данной точности получили ту же самую точку, то найденный многочлен следует рассматривать как наилучшее приближение первой степени функции e^x.

См. также

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Примечания

↑ E. Ya. Remez (1934). Sur le calful effectif des polynômes d’approximation de Tschebyscheff. C.P. Paris 199, 337—340; Ch. 3:78
↑ Рабинер, 1978, с. 157.
↑ Дзядык, 1977, с. 12.
↑ Дзядык, 1977, с. 33.
↑ Лоран, 1975, с. 117.
↑ Дзядык, 1977, с. 74.
↑ Лоран, 1975, с. 112.
↑ Дзядык, 1977, с. 76-77.

Литература

DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. — 1993.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. — 1980.
Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — 1977.
Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. — 1975.
Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — 1978.
Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышёвского приближения. — 1969.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2026
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] E. Ya. Remez (1934). Sur le calful effectif des polynômes d’approximation de Tschebyscheff. C.P. Paris 199, 337—340; Ch. 3:78

[_2571641623d25825-2] Рабинер, 1978, с. 157.

[_46c9f08b1a4a3f4f-3] Дзядык, 1977, с. 12.

[_46c9ee8b1a4a3c24-4] Дзядык, 1977, с. 33.

[_3c6414ff5c9a893f-5] Лоран, 1975, с. 117.

[_46c9ea8b1a4a357f-6] Дзядык, 1977, с. 74.

[_3c6414ff5c9a893a-7] Лоран, 1975, с. 112.

[_4e58dccc681aaafc-8] Дзядык, 1977, с. 76-77.