WikiSort.ru - Не сортированное

Определение

Алгебраической сложностью полинома ${\displaystyle f}$ , которую обозначают через ${\displaystyle L(f)}$ , называется длина кратчайшей неветвящейся программы, вычисляющей ${\displaystyle f}$ ^[4]. Неветвящейся программой называется последовательность функций ${\displaystyle f_{1},...,f_{i},...}$ , определённая следующим образом:

${\displaystyle f_{1}=A_{1}(x_{1},...,x_{k})B_{1}(x_{1},...,x_{k})}$ ,

…

${\displaystyle f_{i}=A_{i}(x_{1},...,x_{k},f_{1},...,f_{i-1})B_{i}(x_{1},...,x_{k},f_{1},...,f_{i-1})}$ ,

…

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$  — полиномы первой степени. Длиной неветвящейся программы называется число членов в последовательности ${\displaystyle f_{1},...,f_{i},...}$ . Неветвящаяся программа длиной ${\displaystyle m}$ вычисляет полином ${\displaystyle p}$ , если ${\displaystyle f_{m}=p}$ .

Свойства

• Существует полином степени ${\displaystyle n}$ от одной переменной, алгебраическая сложность которого не меньше ${\displaystyle \Omega ({\sqrt {n}})}$ .

Нерешённые проблемы

• Неизвестны нетривиальные нижние и верхние оценки алгебраической сложности частичных сумм разложения функции в ряд ${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}}$ . Существует гипотеза, что для вычисления первых n слагаемых этого ряда требуется выполнить ${\displaystyle \Omega (n)}$ умножений^[5].
• Неизвестны нетривиальные нижние и верхние оценки алгебраической сложности частичных сумм разложения функции в ряд ${\displaystyle \ln(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-...-{\frac {x^{n}}{n!}}}$ .

Определение

Рассмотрим операцию умножения квадратной матрицы с постоянными элементами: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{pmatrix}}}$ на вектор ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ .

Аддитивной сложностью квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ называется длина самой короткой последовательности функций ${\displaystyle f_{1},...,f_{i},...}$ , вычисляющих произведение вектора ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle j}$ строку таблицы ${\displaystyle A}$ и определённых следующим образом: ${\displaystyle f_{1}=\alpha _{1}u_{1}+\beta _{1}v_{1}}$ , ...,${\displaystyle f_{i}=\alpha _{i}u_{i}+\beta _{i}v_{i}}$ , ... где ${\displaystyle u_{i},v_{i}\in \left\{x_{1},...,x_{n},f_{1},...,f_{i-1}\right\}}$ , а ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i}}$ являются постоянными.

Свойства

• Аддитивная сложность произвольной матрицы равна ${\displaystyle O(n^{2})}$ . У некоторых видов матриц она меньше. Например, у матрицы быстрого преобразования Фурье, она равна ${\displaystyle O(nlog_{2}(n))}$ .