WikiSort.ru - Не сортированное

Общее определение

В соответствии с определением, ЭПС по финансовому инструменту со стоимостью S (на данный момент времени) в общем случае определяется как решение относительно r уравнения

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{t_{i}}}{(1+r)^{t_{i}}}}}$

где ${\displaystyle CF_{t_{i}}}$ - платеж по инструменту в момент времени ${\displaystyle t_{i}}$ (время отсчитывается от текущего момента в единицах измерения r).

Если ЭПС определена за некоторый базовый период, то для определения ЭПС за период T, содержащий m базовых периодов (m не обязательно целое число) в вышеприведенном уравнении в степенях дисконтирующих множителей время необходимо также перевести в новые единицы,соответственно вместо ${\displaystyle t_{i}}$ нужно использовать ${\displaystyle t_{i}/m}$ . Это эквивалентно тому, что вместо ${\displaystyle 1+r}$ использовать ${\displaystyle (1+R)^{1/m}}$ , следовательно имеем начисление сложных процентов, то есть

${\displaystyle R=(1+r)^{m}-1}$

Простейший частный случай: процентный инструмент с гашением первоначальной суммы в конце срока

В наиболее простом случае, когда имеется инструмент (например, банковский вклад) со стоимостью S (сумма вклада), которая погашается ровно в той же сумме в конце срока, на которую начисляются проценты по ставке q за фиксированный период (период капитализации) в течение всего срока инструмента, уравнение для годовой ЭПС за этот базовый период имеет вид

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q*S}{(1+r)^{i}}}+{\frac {S}{(1+r)^{n}}}=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}+S(1+r)^{-n}}$

Отсюда следует, что q=r, то есть в данном случае ЭПС за базовый период и номинальная ставка за этот же период равны друг другу (r=q). Однако, годовая ЭПС и годовая номинальная ставка будут отличаться, если проценты начисляются чаще одного раза в год, так как начисление процентов за год зависит от базовой ставки линейно (простые проценты), а ЭПС за годовой период определяется, как было указано выше, как сложные проценты. Если m - число базовых периодов в год, то годовая номинальная ставка будет равна Q=q*m, а годовая ЭПС будет равна

${\displaystyle R=(1+r)^{m}-1=(1+Q/m)^{m}}$

это соотношение связывает годовую эффективную и номинальную процентные ставки по инструменту в данном простейшем случае. Соответственно, в таких случаях нет необходимости строить денежные потоки и решать уравнение для определения ЭПС. Достаточно применить указанную формулу.

Общий случай процентного инструмента с гашением первоначальной суммы в течение срока

В более общем случае первоначальная сумма погашается не в конце периода, а в течение срока инструмента. Денежный поток по инструменту представляет собой поток платежей через фиксированный промежуток времени (базовый период), являющихся гашением основного долга и процентами на оставшуюся часть основного долга за базовый период. К этому случаю можно отнести все стандартные кредиты и депозиты, если только нет по ним дополнительных доходов или расходов, учитываемых при расчете ЭПС. При этом график платежей не имеет значения (аннуитетный, дифференцированный, в конце срока и т.д.), важно только одинаковость периодов осуществления платежей (или капитализации процентов), отсутствие иных денежных потоков кроме погашения основного долга и процентов на его остаток. Необходимо отметить, что если проценты начисляются, например, ежемесячно, то формально месяцы имеют не одинаковую продолжительность, однако, в первом приближении этим можно пренебречь в расчетах.

Можно показать, что в этом общем случае ЭПС за базовый период равен в точности номинальной ставке за базовый период. Соответственно, можно годовую ЭПС определить по вышеуказанной стандартной формуле расчета годовой ЭПС в зависимости от количества базовых периодов в год.