WikiSort.ru - Не сортированное

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности ${\displaystyle S}$ и объём ${\displaystyle V}$ шара радиуса ${\displaystyle r}$ (и диаметром ${\displaystyle d=2r}$ ) определяются формулами:

• ${\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}$

• ${\displaystyle S=\ \pi d^{2}}$

• ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

• ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ . Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ и радиусом ${\displaystyle r>0}$ называется множество

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.}$

• Замкнутым шаром с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ называется множество

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.}$

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$ .
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$ .
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке ${\displaystyle X}$ являют собой её базу.
• Очевидно, ${\displaystyle B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})}$ . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: ${\displaystyle {\overline {B_{r}(x_{0})}}\neq D_{r}(x_{0}).}$
  • Например: пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$  — дискретное метрическое пространство, и ${\displaystyle X}$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого ${\displaystyle x\in X}$ имеем:

${\displaystyle B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.}$

Примеры

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$  — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

• если ${\displaystyle d=1}$ (пространство — прямая), то

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),}$

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].}$

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если ${\displaystyle d=2}$ (пространство — плоскость), то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если ${\displaystyle d=3}$ , то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ метрику следующим образом:

  ${\displaystyle \rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.}$

Тогда

• если ${\displaystyle d=2}$ , то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$  — это открытый квадрат с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и сторонами длины ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , расположенными по диагонали к координатным осям.
• если ${\displaystyle d=3}$ , то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$  — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также

В Викисловаре есть статья «шар»

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой

Литература

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

• Вычисление объема и площади шара (неопр.). Архивировано 1 декабря 2012 года.
• Онлайн-калькуляторы (неопр.). Архивировано 1 декабря 2012 года.
• Математические этюды (неопр.). Архивировано 1 декабря 2012 года. Мультфильм про объём шара