WikiSort.ru - Не сортированное

Задача о прохождении через потенциальный барьер формулируется в связи с вопросом о вероятности туннелирования в квантовой механике и возникает повсеместно как первоначальное нулевое приближение поскольку имеет простое аналитическое решение.

Решение

Запишем волновую функцию для трёх областей в виде

${\displaystyle \psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a)}$

${\displaystyle \psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).}$

Здесь предполагается, что волновые вектора

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m(V-E)}{\hbar ^{2}}}}.}$

Произведём сшивку волновых функций и их производных на границах и получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными

${\displaystyle 1+r=A+B}$

${\displaystyle ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B}$

${\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a}}$

${\displaystyle k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.}$

Решая их

${\displaystyle A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=2}$

${\displaystyle A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)}$

${\displaystyle B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)}$

${\displaystyle te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}}$

${\displaystyle t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)}}}$

${\displaystyle t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}}}$

найдём выражение для коэффициента прохождения

${\displaystyle T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.}$

Здесь также можно перейти к пределу дельтообразного потенциала ${\displaystyle U(x)=g\delta (x)}$ , а именно рассмотреть предел бесконечно высокого и бесконечно узкого потенциала такого что произведение ${\displaystyle Va=g}$ , где g — некая константа. В итоге получим

${\displaystyle T={\frac {1}{1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E}}}}.}$

В случае, если энергия частицы выше барьера

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}}}$

получим другой ответ

${\displaystyle T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.}$

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-111892-7.