WikiSort.ru - Не сортированное

Пусть:

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,}$ и ассоциированной нормой ${\displaystyle \|\cdot \|}$
• ${\displaystyle a(\cdot \,,\,\cdot )}$ является билинейной формой, которая:
  • непрерывна в ${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}:\exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}$
  • коэрцитивна в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (иногда используется термин ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ -эллиптичность): ${\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$
• L является непрерывной линейной формой в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ .

Тогда существует единственный элемент ${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ , такой, что равенство ${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$ выполняется для всех ${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ :

${\displaystyle \quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}}:\forall v\in {\mathcal {H}}\rightarrow a(u,v)=L(v)}$

Данное утверждение называется теоремой Лакса — Мильграма. Она имеет широкое применение в числовом анализе, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.

См. также

• Гильбертово пространство
• Теорема представлений Рисса

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.