При́знак Паска́ля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».
Пусть есть натуральное число записываемое в десятичной системе счисления как , где — единицы, — десятки и т. д.
Пусть — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.
Находим ряд остатков по следующей схеме:
Формально:
Так как остатков конечное число (а именно ), то этот процесс зациклится (не позже, чем через шагов) и дальше можно его не продолжать: Начиная с некоторого , где — получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что .
Тогда имеет тот же остаток от деления на , что и число
.
Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю можно заменять числа их остатками от деления на , получаем:
Здесь . Так как , то . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2, или обычно: число делится на 2, если его последняя цифра чётна.
Здесь или . Так как (остаток от деления 10 как на 3, так и на 9 равен 1), то все . Значит, остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления суммы его цифр на 3 (соответственно, 9), или иначе: число делится на 3 (или 9), если сумма его цифр делится на 3 (или 9).
Здесь . Находим последовательность остатков: . Отсюда получаем признак: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления на 4, или, заметив, что остаток зависит только от 2 последних цифр: число делится на 4, если число, состоящее из 2 его последних цифр, делится на 4.
Здесь . Так как , то . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5, или обычно: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
Здесь . Находим остатки.
Следовательно, для любого числа
его остаток от деления на 7 равен
Рассмотрим число 48916. По доказанному выше,
а значит, 48916 делится на 7.
Здесь . Так как , то все , а . Отсюда можно получить простой признак делимости на 11:
Проще говоря:
Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .