Определение
Поток
определяется как совокупность двух законов
и
, называемых законом потока и дополнительным законом, соответственно. Закон потока
делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые, и должен обладать следующими свойствами:
- Пустой кортеж
является допустимым.
- Для любого допустимого кортежа
найдётся по меньшей мере одно натуральное число
, для которого кортеж
также будет допустимым.
- Для любого допустимого кортежа вида
кортеж
также является допустимым.
Дополнительный закон
сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.
Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел
, для которых при любом
кортеж
является допустимым по закону потока
, называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности
(где
— дополнительный закон потока
) называются элементами потока
.
Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.
Применение в интуиционистской математике
На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум
нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:
- допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны
или
;
- если допустимому кортежу
дополнительным законом сопоставлен отрезок
, то кортежу
сопоставляется отрезок
, а кортежу
— отрезок
.
Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке
.
Запирающие условия и бар-индукция
Пусть
— некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности
найдётся номер
, для которого кортеж
удовлетворяет условию
. В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения:
Пусть условие
запирает поток
, и пусть условие
, накладываемое на допустимые кортежи потока
, обладает следующими свойствами:
- Любой допустимый кортеж, удовлетворяющий условию
, удовлетворяет условию
.
- Если все допустимые кортежи вида
удовлетворяют условию
, то допустимый кортеж
также удовлетворяет условию
.
В таком случае пустой кортеж удовлетворяет условию
. |
Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.
Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере:
- «если поток
финитарен (то есть из каждой его вершины выходит лишь конечное число ветвей) и условие
запирает поток
, то найдётся такое натуральное число
, что для любой допустимой свободно становящейся последовательности
найдётся удовлетворяющий условию
кортеж
со свойством
.»
В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «Лемма Кёнига о бесконечном пути».
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .